[論文レビュー] Quantitative BT-Theorem and automatic continuity for standard von Neumann algebras

Francesco Fidaleo, László Zsidó|arXiv (Cornell University)|May 19, 2015

Advanced Topics in Algebra参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、標準的 von Neumann 代数に対する Borchers-Takesaki (BT) 定理の定量的版を確立し、任意の全域的で可逆な反線形作用素が von Neumann 代数とその中心の可換部分代数を intertwine し、中心上で * 操作を実行する場合、自動的に有界であることを証明する。この結果は、双対作用素の自動連続性に関する一般定理を導き、von Neumann 代数の準同型写像や、不変 GNS 補空間を備えた正常・半有限・忠実な重みを備えた W*-代数の構造への応用を含む。

ABSTRACT

We prove a general criterion for a von Neumann algebra $M$ in order to be in standard form. It is formulated in terms of an everywhere defined, invertible, antilinear, a priori not necessarily bounded operator, intertwining $M$ with its commutant $M'$ and acting as the $*$-operation on the centre. We also prove a generalized version of the BT-Theorem which enables us to see that such an intertwiner must be necessarily bounded. It is shown that this extension of the BT-Theorem leads to the automatic boundedness of quite general operators which intertwine the identity map of a von Neumann algebra with a general bounded, real linear, operator valued map. We apply the last result to the automatic boundedness of linear operators implementing algebraic morphisms of a von Neumann algebra onto some Banach algebra, and to the structure of a $W^*$-algebra $M$ endowed with a normal, semi-finite, faithful weight $\\varphi\\,$, whose left ideal $\\mathfrak N_{\\varphi}$ admits an algebraic complement in the GNS representation space $H_{\\varphi}\\,$, invariant under the canonical action of $M$.

研究の動機と目的

• 反線形双対作用素を用いた von Neumann 代数が標準形であるための一般基準を確立すること。
• このような双対作用素が、事前に有界であるとは仮定しないが、自動的に有界であることを証明すること。
• 古典的 BT 定理を一般化し、恒等写像と有界な実線形作用素値写像を双対する作用素の自動連続性を導出すること。
• 自動連続性結果を、von Neumann 代数からバナッハ代数への代数的準同型を実現する線形写像の有界性に応用すること。
• 正常・半有限・忠実な重み φ を備えた W*-代数 M における、GNS 左イデアルが M-不変な代数的補空間を有する構造を分析すること。

提案手法

• von Neumann 代数 M が標準的であるための基準を、任意の z ∈ Z(M) に対して TMT⁻¹ = M′ および TzT⁻¹ = z* を満たす全単射反線形作用素 T が存在することによって導入する。
• 一般化された BT 定理を用いて、このような作用素 T が有界であることを証明する。この一般化された BT 定理は、古典的結果をより広いクラスの双対作用素に拡張する。
• von Neumann 代数上の恒等写像と有界な実線形作用素値写像を双対する作用素の一般自動連続性定理（定理 5.1）を確立する。
• 一般化された BT 定理を用いて、von Neumann 代数からバナッハ代数への代数的準同型を実現する任意の線形作用素が自動的に有界であることを示す。
• W*-代数 M における正常・半有限・忠実な重み φ に付随する GNS 表現に着目し、Hφ 内の左イデアル Nφ が M-不変な代数的補空間を有するかを分析する。
• Hamel 基を用いて、無限次元ヒルベルト空間上に有界でない線形および反線形自己同型を明示的に構成し、有界性仮定の必要性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト空間 H 上の von Neumann 代数 M が、反線形共役によってその可換部分代数と空間的に同型である、すなわち標準的であるための条件は何か？
• RQ2 M と M′ を双対する、全域的で可逆な反線形作用素 T が、Z(M) 上で * 操作を実行する場合、事前に有界であるとは仮定しないが、必ず有界であると言えるか？
• RQ3 von Neumann 代数上の恒等写像と有界な実線形作用素値写像を双対する作用素の自動有界性を保証する一般条件は何か？
• RQ4 W*-代数 M が正常・半有限・忠実な重み φ を備え、GNS 左イデアル Nφ が Hφ 内で M-不変な代数的補空間を有する場合、M の構造にどのような影響を与えるか？
• RQ5 無限次元ヒルベルト空間上に有界でない線形または反線形自己同型は存在するか？もし存在するならば、どのように構成できるか？

主な発見

• von Neumann 代数 M が標準的であるための必要十分条件は、任意の z ∈ Z(M) に対して TMT⁻¹ = M′ および TzT⁻¹ = z* を満たす全単射反線形作用素 T: H → H が存在することである。
• このような双対作用素 T は、事前に有界であるとは仮定しないが、自動的に有界であることが保証され、このクラスの作用素に対して自動連続性が成立する。
• 一般化された BT 定理（定理 4.1）により、von Neumann 代数上の恒等写像と有界な実線形作用素値写像を双対する任意の作用素は自動的に有界である。
• 自動連続性結果（定理 5.1）により、von Neumann 代数からバナッハ代数への代数的準同型を実現する任意の線形作用素は、必然的に有界である。
• 正常・半有限・忠実な重み φ を備えた W*-代数 M に対して、GNS 左イデアル Nφ が Hφ 内で M-不変な代数的補空間を有するならば、M は有限次元である。
• Hamel 基を用いて、有限個の連続的座標関数を持つ有界でない線形および反線形自己同型が、無限次元ヒルベルト空間上に構成可能である。