[論文レビュー] Quantitative complementarity relations in bipartite systems

Matthias Jakob, János A. Bergou|ArXiv.org|Feb 10, 2003

Advanced Algebra and Logic参考文献 1被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、二量子ビット系において、波動・粒子二重性（可視性と予測可能性を介して）と双粒子もつれ（concurrenceを介して）を統一する三重性関係を導入する。この関係により、これらの三つの量子的性質が互いに排他的であり、定量的に関連していることが示される。主な貢献は、純粋状態に対して完全な補完関係 ${\cal{C}}^2 + {\cal{V}}_k^2 + {\cal{P}}_k^2 = 1$ を得ることであり、これはベルの不等式違反が、最大もつれによって単粒子的実在性が排除されることに起因することを明らかにする。

ABSTRACT

We introduce a complete set of complementary quantities in bipartite, two-dimensional systems. Complementarity then relates the quantitative entanglement measure concurrence which is a bipartite property to the single-particle quantum properties predictability and visibility, for the most general quantum state of two qubits. Consequently, from an interferometric point of view, the usual wave-particle duality relation must be extended to a ``triality'' relation containing, in addition, the quantitative entanglement measure concurrence, which has no classical counterpart and manifests a genuine quantum aspect of bipartite systems. A generalized duality relation, that also governs possible violations of the Bell's inequality, arises between single- and bipartite properties.

研究の動機と目的

• 単一系における波動・粒子二重性を、もつれを基本的な量子的性質として組み込むことによって、双粒子系へと拡張すること。
• 二量子ビット系に対して、もつれ（concurrence）、単粒子の可視性、予測可能性を含む定量的補完関係を導出すること。
• ベルの不等式違反が、局所的および非局所的量子的性質を統合する同一の補完原理によって支配されることを示すこと。
• もつれ（concurrenceで測定）が、干渉計的可視性と予測可能性という測定可能な単粒子的性質を通じて、操作的に測定可能であることを示すこと。

提案手法

• 正規化条件 $|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + |d|^2 = 1$ を満たす、最も一般な純粋二量子ビット状態 $|\Theta\rangle = a|00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle + d|11\rangle$ を定義する。
• もつれの尺度として、状態とスピン反転状態の積から得られる ${\cal{C}} = 2|ad - bc|$ を導入する。
• 各量子ビットについて、単粒子の可視性 ${\cal{V}}_k = 2|\langle\Theta|\sigma_k^+|\Theta\rangle|$ と予測可能性 ${\cal{P}}_k = |\langle\Theta|\sigma_{z,k}|\Theta\rangle|$ を定義し、局所的な波動的および粒子的側面を表す。
• 純粋状態に対して三重性関係 ${\cal{C}}^2 + {\cal{V}}_k^2 + {\cal{P}}_k^2 = 1$ を導出し、三つの量子的性質が互いに排他的であることを示す。
• 混合状態への拡張として、不等式 ${\cal{C}}^2 + {\cal{V}}_k^2 + {\cal{P}}_k^2 \leq 1$ を得るが、この場合、二粒子の可視性ともつれの直接的な関係は成立しなくなることに注意する。
• 補完関係をベルの不等式違反と関連付けるために、最大ベル違反 ${\cal{B}} = 2\sqrt{2 - {\cal{S}}_k^2}$ を表す式を導出する。ここで ${\cal{S}}_k^2 = {\cal{V}}_k^2 + {\cal{P}}_k^2$ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一系における波動・粒子二重性は、二粒子系にまで、もつれを含めてどのように一般化できるか？
• RQ2 二量子ビット系において、もつれ（concurrence）、単粒子の可視性、予測可能性を統合する定量的関係は何か？
• RQ3 局所的および非局所的性質の補完関係は、ベルの不等式違反をどのように支配するか？
• RQ4 混合量子状態では、なぜ二粒子の可視性とconcurrenceの直接的関係が崩壊するのか？
• RQ5 可視性や予測可能性といった測定可能な単粒子的性質のみを用いて、もつれを操作的に測定可能か？

主な発見

• 本稿は、純粋二量子ビット状態に対して三重性補完関係 ${\cal{C}}^2 + {\cal{V}}_k^2 + {\cal{P}}_k^2 = 1$ を導出し、もつれ、可視性、予測可能性が互いに排他的な量子的性質であることを示した。
• ${\cal{C}} = 2|ad - bc|$ として与えられるもつれは、古典的対応がなく、補完枠組みの中で自然に現れる双粒子もつれの尺度であることが示された。
• 純粋状態では、ベルの不等式の最大違反は ${\cal{S}}_k^2 = {\cal{V}}_k^2 + {\cal{P}}_k^2 = 0$ のとき発生し、これは単粒子的実在性が完全に排除されることを意味し、${\cal{B}} = 2\sqrt{2}$ となる。
• 混合状態では、不等式 ${\cal{C}}^2 + {\cal{V}}_k^2 + {\cal{P}}_k^2 \leq 1$ が成り立つが、もつれと二粒子可視性の直接的関係は失われる。
• 本研究により、ベルの不等式違反が独立ではなく、単粒子的および双粒子的量子的性質を統合する同一の補完原理によって支配されることを明らかにした。
• もつれは、測定可能な単粒子的観測量（干渉計的可視性と予測可能性）を介して操作的に測定可能であり、concurrenceが干渉計測定に根ざした操作的概念であることが確立された。