[論文レビュー] Quantitative Density under Higher Rank Abelian Algebraic Toral Actions

Zhiren Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、非CM数体の単数群がK⊗QRのコンact商上に作用する高ランクアーベル代数的作用について、1次元トーラス作用のBourgain-Lindenstrauss-Michel-Venkateshの定量的密度結果を高次元トーラスへ拡張する。数体の単数群による作用の下での軌道の有効な多項式型密度評価を確立し、一般の軌道が単数の対数的マーラー測度および数体の判別式によって制御されるレートで稠密になることを示す。主な貢献は、このような作用におけるKatok-Spatzierの剛性定理の定量的・測度論的に有効なバージョンを確立することにある。

ABSTRACT

We generalize Bourgain-Lindenstrauss-Michel-Venkatesh's recent one-dimensional quantitative density result to abelian algebraic actions on higher dimensional tori. Up to finite index, the group actions that we study are conjugate to the action of $U_K$, the group of units of some non-CM number field $K$, on a compact quotient of $K\otimes_{\mathbb Q}\mathbb R$. In such a setting, we investigate how fast the orbit of a generic point can become dense in the torus. This effectivizes a special case of a theorem of Berend; and is deduced from a parallel measure-theoretical statement which effectivizes a special case of a result by Katok-Spatzier. In addition, we specify two numerical invariants of the group action that determine the quantitative behavior, which have number-theoretical significance.

研究の動機と目的

• 1次元トーラス作用におけるBourgain-Lindenstrauss-Michel-Venkateshの1次元定量的密度結果を、高次元トーラスにおけるアーベル代数的作用へ一般化すること。
• 高ランクアーベル作用におけるトーラス上でのBerendの最小性定理の特殊ケースを有効化すること。
• 基礎となる数体の数論的不変量を用いて、軌道の等分布速度に対する有効な境界を確立すること。
• 単数群作用によるねじれたトーラス上でのKatok-Spatzier剛性定理の測度論的に有効なバージョンを導出すること。

提案手法

• 非CM数体Kの単数群UKがコンパクト商X = (K⊗QR)/Iに作用する高ランクアーベル作用を構成する。
• Minkowskiの連続的最小値および凸体に関する定理を用いて、作用素ノルムを制御する同型写像ψ: Rd → Rdを構成する。
• トーラスX上のフーリエ解析を用いて、軌道測度のフーリエ係数の減衰を制御する。
• エントロピーおよびL2ノルムの推定を用いて、測度論的稠密性から位相的稠密性の結果へ移行する。
• ディオファントス近似技術および対数的マーラー測度の評価を用いて、安定化部分群および軌道の基数の大きさを制御する。
• 判別式D(K)、レギュレータFUK、理想ノルムN(I)を結びつけるパラメータ操作の議論により、有効な稠密性境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高ランクアーベル代数的作用の下で、高次元トーラス上のある一般点の軌道がどれほど速く稠密になるか。
• RQ2 このような作用における等分布の定量的レートを支配する数論的不変量は何か。
• RQ3 Katok-Spatzierの測度論的剛性結果が、数体トーラス上の単数群作用の文脈で有効化可能か。
• RQ4 軌道の稠密性が、単数群の対数的マーラー測度および数体の判別式にどの程度依存するか。
• RQ5 一様分布ではないが依然として稠密な軌道に対し、有効な稠密性境界を確立できるか。

主な発見

• ねじれたトーラスX上での単数群作用における一般点の軌道は、(log log log N(I))^{-ι1 F^2_{UK}}-稠密であり、有効な定数ι1(d), ι2(d), c23(d)を伴う。
• 稠密性の速度は単数群の対数的マーラー測度F_{UK}および判別式D(K)によって制御され、D(K)が大きい場合にはD(K)^{d/2}が対数因子に吸収される。
• O_K / Iの可逆元β ∈ (O_K / I)^*に対し、軌道UK.βはρ₀-稠密であり、ρ₀ ≤ ||ψ|| (log log log N(I))^{-ι1 F^2_{UK}}を満たす。ここで||ψ|| ≲_d D(K)^{(d-1)/(2d)}である。
• 軌道の大きさ|G.x|はF_{UK}^{-r} (log(2^{-d} N(I)))^rで下から抑えられ、r = rank(U_K)である。これは、有効な稠密性に大規模な軌道が不可欠であることを示している。
• 判別式D(K)がレギュレータに対して十分に大きい場合、N(I)が大きい限り、すべてのβ ∈ (O_K / I)^*に対して有効な稠密性境界は一様に成り立つ。
• 主結果(8.4)は、D(K)が十分に大きいとき、理想I(β)のノルムがNI(β) ≤ N(I) (log log log N(I))^{-c21 F^2_{UK}}を満たすことを示しており、c21はdにのみ依存する。