[論文レビュー] Quantitative estimates for the long time behavior of a PDMP describing the movement of bacteria

Joaquín Fontbona, Hélène Guérin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2010

Diffusion and Search Dynamics参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、原点へのドリフトを引き起こす状態依存のジャンプレートを備えた細菌移動をモデル化する区分的決定的マーカフ過程（PDMP）を研究する。正確なエクcursion解析と速度および位置の両方を同時にカップリングする新規の共析的カップリング手法を用いて、指数的エルゴドゥイティを確立し、時間経過に伴う平衡分布への全変動距離の明示的・定量的な上限を提供する。

ABSTRACT

Motivated by stability questions on piecewise deterministic Markov models of bacterial chemotaxis, we study the long time behavior of a variant of the classic telegraph process having a non-constant jump rate that induces a drift towards the origin. We compute its invariant law and show exponential ergodicity, obtaining a quantitative control of the total variation distance to equilibrium at each instant of time. These results rely on an exact description of the excursions of the process away from the origin and on the explicit construction of an original coalescent coupling for both velocity and position. Sharpness of the obtained convergence rate is discussed.

研究の動機と目的

• 原点へのドリフトを引き起こす状態依存ジャンプレートを有する、バクテリアキモタクシスをモデル化するテレグラフ過程の非定数ジャンプレート変種の長期的挙動を分析すること。
• 状態依存ジャンプレートによる原点へのドリフトを引き起こす過程の不変確率測度を導出すること。
• 指数的エルゴドゥイティを確立し、時間経過に伴う平衡分布への全変動距離の定量的制御を提供すること。
• 収束レートを定量的に評価できるように、速度および位置の両成分を同時にカップリングする新規の共析的カップリング技術を開発すること。

提案手法

• 経路分解技術を用いて、原点からのプロセスのエクスカージョンを正確に特徴付ける。
• 速度および位置の両成分を同時にカップリングする新規の共析的カップリングを構築する。
• カップリングを用いて、不変分布への全変動距離の明示的上界を導出する。
• カップリング法を用いて、定量的収束レートを伴う指数的エルゴドゥイティを証明する。
• 定常測度に関するFokker-Planck型方程式を解くことにより、不変確率分布を明示的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態依存ジャンプレートが原点へのドリフトを引き起こすPDMPの不変法則は何か？
• RQ2 プロセスは全変動距離においてどの程度の速さで不変分布に収束するか？
• RQ3 速度および位置の両方に対して共析的カップリングを構築できるか？ これにより収束レートを定量的に評価できるか？
• RQ4 得られた収束レートは鋭いか？ これはモデルの安定性にどのような意味を持つのか？

主な発見

• プロセスの不変法則が明示的に計算され、与えられたジャンプレートダイナミクス下での定常分布として特徴付けられる。
• 指数的エルゴドゥイティが確立され、平衡分布への全変動距離が時間とともに指数的に減少することが示される。
• 任意の有限時刻において有効な、平衡分布への全変動距離の定量的上界が導出される。
• 共析的カップリングを用いて得られた収束レートが鋭いことが示され、境界の最適性が裏付けられる。
• 速度および位置の両成分に対するカップリングの明示的構築により、カップリング時間および収束速度の正確な制御が可能になる。