[論文レビュー] Quantitative Estimates on Periodic Homogenization of Nonlinear Elliptic Operators

Li Wang, Qiang Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非線形で単調でない作用素を有する擬線形楕円型方程式の周期的均質化について、定量的な誤差推定を確立する。シェン（2013）にインspiredされた実変数法を用いて、$C^{1,1}$ 領域では $L^2$ で $O(ε^{1/2})$ の収束が得られ、リプシッツ領域では $σ < 1/2$ の $O(ε^{\sigma})$ の収束が得られ、係数や領域の滑らかさに関する仮定を周期性と有界性を除き一切不要として、$2 \leq p < \infty$ の全域的 $W^{1,p}$ 推定が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we are interested in the periodic homogenization of quasilinear elliptic equations. We obtain error estimates $O(\varepsilon^{1/2})$ for a $C^{1,1}$ domain, and $O(\varepsilon^σ)$ for a Lipschitz domain, in which $σ\in(0,1/2)$ is close to zero. Based upon the convergence rates, an interior Lipschitz estimate, as well as a boundary Hölder estimate can be developed at large scales without any smoothness assumption, and these will implies reverse Hölder estimates established for a $C^1$ domain. By a real method developed by Z.Shen \cite{S3}, we consequently derive a global $W^{1,p}$ estimate for $2\leq p

研究の動機と目的

• 周期的係数を有する擬線形楕円型方程式の周期的均質化における定量的収束速度の確立。
• 従来の線形均質化結果を、特に $2 \leq p < \infty$ の $W^{1,p}$ 推定を含む非線形設定に拡張すること。
• 係数や領域の正則性を最小限に抑えた仮定の下で、大スケール内部リプシッツおよび境界ホルダー推定を確立すること。
• 既知の逆ホルダー不等式および全域的 $W^{1,p}$ 推定を、実変数法を用いて非線形設定に一般化すること。

提案手法

• シェン（2013）の実変数法を、発散型の非線形で単調でない楕円型作用素に適応する。
• 強制項の係数 $A(y,z)$ の強制性とホルダー連続性を活用し、二尺度展開と補正子理論を用いて誤差推定を確立する。
• 調和関数との比較とカムパナト型の減衰推定を用いて、大スケール内部リプシッツ推定を導出する。
• 被覆論法と最大関数推定を用いて、勾配の局所的 $L^p$ 界を全域的 $W^{1,p}$ 推定に移行する。
• $L^2$ 収束率を用いて大スケールでの勾配の振動を制御し、逆ホルダー不等式を導出する。
• エネルギー推定においてポアンカレおよびヤングの不等式を用いて、解とその近似との差を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的係数を有する擬線形楕円型方程式の解について、$L^2$ ノルムにおける最良収束速度は何か？
• RQ2 $C^1$ の係数や領域の正則性を仮定しない非線形楕円型方程式について、$W^{1,p}$ 推定を確立できるか？
• RQ3 係数や領域の正則性を最小限に抑えた仮定の下で、非線形作用素に対する大スケール内部リプシッツおよび境界ホルダー推定はどのように振る舞うか？
• RQ4 シェンの実変数法を非線形設定に拡張し、全域的 $W^{1,p}$ 推定を導出できるか？
• RQ5 収束速度が領域の正則性にどのように依存するか、特にリプシッツ領域と $C^{1,1}$ 領域の比較において。

主な発見

• $C^{1,1}$ 領域では、$L^2$ 収束速度が $O(\u03b5^{1/2})$ であり、定数は $\mu_0$, $\mu_2$, $d$, $r_0$ および領域の特性に依存する。
• リプシッツ領域では、$p > 2$ のとき $\sigma = 1/2 - 1/p$ として $O(\u03b5^{\sigma})$ の収束が得られ、$\|F\|_{L^p}$ および $\|g\|_{W^{1-1/p,p}(\partial\Omega)}$ に依存する。
• 滑らかさの仮定を一切不要として、大スケールで内部リプシッツ推定を確立し、$\sqrt[3]{\u03b5} \leq r < 1/4$ に対して有効である。勾配の制御は、$L^2$ 平均および源項の $L^p$ ノルムに依存する。
• $C^1$ 領域に対して、$2 \leq p < \infty$ の全域的 $W^{1,p}$ 推定が導出され、勾配ノルムは $\|F\|_{L^p}$, $\|f\|_{L^p}$, $\|g\|_{W^{1-1/p,p}(\partial\Omega)}$ で制御される。
• 結果は、係数や領域の滑らかさを仮定しない $C^1$ 領域でも勾配の逆ホルダー推定を示唆する。
• この手法は、顕著な修正なしにノイマン境界値問題にも適用可能であり、アプローチの強靭性を示している。