[論文レビュー] Quantitative Harris type theorems for diffusions and McKean-Vlasov processes

Andreas Eberle, Arnaud Guillin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 57被引用数 131

ひとこと要約

本論文は、Lyapunov関数と反射結合を用いた拡散とMcKean–Vlasov拡散に対する定量的 Harris 型収束結果を提供し、明示的な Kantorovich 収束率といくつかの系論（エルゴード境界、勾配境界、サブ幾何的結果）を得る。

ABSTRACT

We consider $\\mathbb{R}^d$-valued diffusion processes of type \\begin{align*} dX_t\\ =\\ b(X_t)dt\\, +\\, dB_t. \\end{align*} Assuming a geometric drift condition, we establish contractions of the transitions kernels in Kantorovich ($L^1$ Wasserstein) distances with explicit constants. Our results are in the spirit of Hairer and Mattingly's extension of Harris' Theorem. In particular, they do not rely on a small set condition. Instead we combine Lyapunov functions with reflection coupling and concave distance functions. We retrieve constants that are explicit in parameters which can be computed with little effort from one-sided Lipschitz conditions for the drift coefficient and the growth of a chosen Lyapunov function. Consequences include exponential convergence in weighted total variation norms, gradient bounds, bounds for ergodic averages, and Kantorovich contractions for nonlinear McKean-Vlasov diffusions in the case of sufficiently weak but not necessarily bounded nonlinearities. We also establish quantitative bounds for sub-geometric ergodicity assuming a sub-geometric drift condition.

研究の動機と目的

• 小さな集合条件を超える拡散の平衡収束の定量的制御を動機づける。
• Lyapunovドリフトと反射結合を用いて明示的な Kantorovich 収束境界を開発する。
• 加重総変分距離での指数収束、勾配境界、エルゴード平均といった結果を導く。
• 弱いながら必ずしも有界でない非線形性の下で McKean–Vlasov 拡散への枠組みを拡張する。
• サブ幾何的ドリフト条件の下でサブ幾何的エルゴード性の結果を提供する。

提案手法

• ドリフトに対する一般化された一方向リプシッツ条件と Lyapunov ドリフト条件を組み合わせて用いる。
• ドリフトと Lyapunov 関数に合わせて加法的および乗法的 Kantorovich（Wasserstein）距離を構築する。
• 反射結合と凹型距離関数を用いて W_rho 測度での収束を得る。
• Kantorovich 収束を特徴づける明示的な収束率 c と関数 f を導く。
• この方法を McKean–Vlasov 拡散へ拡張し、非線形平均場相互作用を分析する。
• サブ幾何的ドリフト条件を考慮してサブ幾何的エルゴード性の結果を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的ドリフトの下で小さな集合条件なしに拡散に対する Kantorovich 距離の明示的な収束率を得られるか？
• RQ2 Lyapunov 関数と適合した指標が拡散半群に対する定量的 Harris 型境界をいかに導出できるか？
• RQ3 このような収束結果がエルゴード平均、勾配境界、平衡収束にどのような結果をもたらすか？
• RQ4 枠組みを弱い非線形性をもつ非線形（McKean–Vlasov）拡散へ拡張できるか？
• RQ5 サブ幾何的ドリフト条件の下で収束結果はどうなるか？

主な発見

• 幾何的ドリフトの下で拡散に対する Kantorovich 距離の収束と明示的な定数。
• 遷移半群に対する加重総変分ノルムでの指数収束と勾配境界。
• エルゴード平均と有限時間混合速度の定量的境界。
• 十分に弱い非線形性の下で非線形 McKean–Vlasov 拡散への収束結果の拡張。
• サブ幾何的ドリフト条件の下でのサブ幾何的エルゴード性結果の提供。