[論文レビュー] Quantitative Homogenization with Relatively Soft Inclusions and Interior Estimates

B. Chase Russell|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、サイズ $\mathcal{O}(\varepsilon)$ および剛性パラメータ $\delta \in [0,1]$ の周期的に配置された軟性インクルージョンを含む領域における、急速に周期的変動する係数を有する線形弾性系の解について、大スケール内部リプシッツ推定を確立する。キャムパナト型スキームと $H^1$-収束率を用いて、解の勾配に対するスケール不変性を示す $L^2$ 推定を導出し、係数の滑らかさを仮定しないまま、マクロスケールで一様な制御が可能であることを証明する。

ABSTRACT

We establish large-scale interior Lipschitz estimates for solutions to systems of linear elasticity with rapidly oscillating periodic coefficients and Dirichlet boundary conditions in domains with periodically placed inclusions of size $\mathcal{O}(\varepsilon)$ and magnitude $δ$ by establishing $H^1$-convergence rates for such solutions. The interior estimates at the macroscopic scale are derived directly without the use of compactness via a Campanato-type scheme presented by S. Armstrong and C.K. Smart and that was adapted for uniformly elliptic equations in by Armstrong and Z. Shen.

研究の動機と目的

• 急速に周期的変動する係数を有する線形弾性系の解について、大スケール内部リプシッツ推定を確立すること。
• サイズ $\mathcal{O}(\varepsilon)$ および剛性 $\delta \in [0,1]$ の周期的に配置された軟性インクルージョンを有する領域における解の挙動を分析すること。
• 係数行列 $A$ の滑らかさを仮定しないで、このような系の $H^1$-収束率を導出すること。
• コンpactnessの議論を避けるために、直接的なキャムパナト型スキームを用いてマクロスケールでの定量的推定を提供すること。
• パrameter $\delta$ を係数構造における物理的剛性係数として組み込むことにより、既存の結果を軟性インクルージョンの状況に拡張すること。

提案手法

• アームストロングとスミスが開発した元来のキャムパナト型スキームを、アームストロングとシェンが拡張したものに適応し、弾性系のための大スケールリプシッツ推定を導出する。
• 解を正則部 $u_1$ と補正部 $u_2$ に二重スケール分解し、界面問題における層電位技術を活用する。
• 反射法と境界積分方程式を用いて、特に $\delta \in (0,1]$ の場合にインクルージョンを貫通するジャンプ条件を制御する。
• 定数係数作用素 $k_{\delta}A$ の基本解 $\Gamma(x,y)$ を用いて、解を単層電位および二重層電位の形で表現する。
• 二重層電位 $\mathcal{D}$ と単層電位 $\mathcal{S}$ を含む重要な作用素方程式を確立し、$\|k_{\delta}\nabla u_2\|_{C^{0,\alpha}}$ の強制的推定を導く。
• スケールアップの議論と半径 $\varepsilon$ の球の被覆を用いて、局所的な $L^2$ 推定をマクロスケールでの $L^\infty$ 界に高める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数行列の滑らかさを仮定しないで、軟性インクルージョンを有する線形弾性系の解について、大スケール内部リプシッツ推定を確立できるか。
• RQ2 剛性パラメータ $\delta \in [0,1]$ を有する軟性インクルージョンが存在する状況で、$H^1$-収束率はどのように振る舞うか。
• RQ3 コンパクトネスの議論に依存せずに、キャムパナト型スキームを直接用いてスケール不変性の勾配推定を導出できるか。
• RQ4 パrameter $\delta$ は、不均質な弾性体における解の正則性および収束性を制御する上で果たす役割は何か。
• RQ5 界面ジャンプ条件および層電位は、異なるスケール間で一様な推定を導出するためにどのように寄与するか。

主な発見

• 本稿は、解の勾配に対するスケール不変性 $L^2$ 推定を確立する：$\left(-\!\!\!\!\int_{B(x_0,r)}|k^{\varepsilon}_{\delta}\nabla u_{\varepsilon,\delta}|^{2}\right)^{1/2} \leq C\left(-\!\!\!\!\int_{B(x_0,R)}|k^{\varepsilon}_{\delta}\nabla u_{\varepsilon,\delta}|^{2}\right)^{1/2}$ for $\varepsilon \leq r \leq R$ であり、$C$ は $\varepsilon$ および $\delta$ に依存しない。
• 推定における定数 $C$ は、次元 $d$、参照領域 $\omega$、および楕円的定数 $\kappa_1, \kappa_2$ のみに依存し、$A$ の滑らかさには依存しない。
• $\delta \in (0,1]$ の場合、解 $u_{\varepsilon,\delta}$ は $\|k^{\varepsilon}_{\delta}\nabla u_{\varepsilon,\delta}\|_{L^\infty(B(y,\varepsilon))} \leq C \left(-\!\!\!\!\int_{B(x_0,1)}|k^{\varepsilon}_{\delta}\nabla u_{\varepsilon,\delta}|^{2}\right)^{1/2}$ for $y \in B(x_0,1/3)$ を満たす。これはスケールアップと被覆の議論により導出される。
• $H^1$-収束率は、$\delta = 0$ の場合（インクルージョンでノイマン条件に対応）であっても、軟性インクルージョンを有する系に対して確立される。
• 正則性は、$\delta$ に一様に依存する推定 $\|k_{\delta}\nabla u_2\|_{C^{0,\alpha}(H_k^*)} \leq C\|k_{\delta}^{-1}f\|_{C^{0,\alpha}(H_k^*)}$ を用いて制御され、これは $\delta$ が小さい場合に有効である。
• コンパクトネスを避けるために、直接的なキャムパナト型反復を構築し、係数の滑らかさがなくても、一様な大スケールリプシッツ制御が得られる。