[論文レビュー] Quantitative Reifenberg theorem for measures

Nick Edelen, Aaron Naber+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2016

Advanced Topology and Set Theory被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、密度やアーフォルス正則性の仮定なしに、一般の非負ボレル測度に対して、$β_2$-数を用いて測度と可解性を制御する、$Д^n$ 内の一般の非負ボレル測度に対する定量的リーフェンベルク定理を確立する。測度が $k$-可解的集合から離れた部分の測度に対する有効な境界を提供し、すべてのスケールで $β_2$-推定が成り立つと、やや弱い条件下で可解性および上付きアーフォルス正則性が示される。

ABSTRACT

We study generalizations of Reifenberg's Theorem for measures in $\mathbb R^n$ under assumptions on the Jones' $β$-numbers, which appropriately measure how close the support is to being contained in a subspace. Our main results, which holds for general measures without density assumptions, give effective measure bounds on $μ$ away from a closed $k$-rectifiable set with bounded Hausdorff measure. We show examples to see the sharpness of our results. Under further density assumptions one can translate this into a global measure bound and $k$-rectifiable structure for $μ$. Applications include quantitative Reifenberg theorems on sets and discrete measures, as well as upper Ahlfor's regularity estimates on measures which satisfy $β$-number estimates on all scales.

研究の動機と目的

• アーフォルス正則性や密度の上限を要件としないように、リーフェンベルクの定理を一般の測度へ拡張すること。
• すべてのスケールで $k$-平面による測度の近似度を $β_2$-数を用いて定量的に評価すること。
• 測度が $k$-平面でよく近似されない部分の測度およびパッキング境界を有効に確立すること。
• すべてのスケールで $β_2$-推定が成り立つと、やや弱い条件下で $k$-可解性および上付きアーフォルス正則性が示されることを証明すること。
• 仮定の必要性と境界の最適性を示す鋭い例を提示すること。

提案手法

• $\u03b2_2$-数に基づいて測度空間を「良い」および「悪い」立方体に二分するダイアディック分解を用いる。
• 測度が $k$-平面でよく近似される「良い」木構造の立方体を、傾き補正とパッキング制御を用いて構築する。
• 一般化された重心と傾き制御を用いて、すべてのスケールで一様な近似を保証する。
• 被覆論法とパッキング推定を用いて、近似に失敗する「悪い」集合の測度を境界付ける。
• 「良い」木構造の構造と $β_2$-推定を用いて、測度を可解的、零集合、余分な部分に分解する。
• 幾何的測度論の定理を適用し、$β_2$-和分可能性条件から可解性および上付きアーフォルス正則性を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度仮定なしに、$β_2$-数推定に基づいて一般の測度に対して有効な測度境界を得ることは可能か？
• RQ2 測度境界の鋭い依存関係は、$β_2$-和分可能性定数と近似パラメータ $\epsilon$ にどのように依存するか？
• RQ3 すべてのスケールで $β_2$-推定が成り立つと、測度の $k$-可解性がどのような条件下で保証されるか？
• RQ4 下付きまたは上付きアーフォルス正則性が欠落している場合、結果はどのように振る舞うか？
• RQ5 結果は離散的測度および集合へ拡張可能か？この文脈での鋭い例は何か？

主な発見

• 任意の $Д^n$ 上のボレル測度 $\mu$ に対して、$\int_0^1 \beta^k_{\mu,2}(x,r)^2 \frac{dr}{r} \leq M$ が $x$ に関して一様に成り立つならば、$\mu$ は小さな測度の集合を除いて $k$-可解的である。
• 測度が $k$-平面でよく近似されない部分の測度は、$c(n)(\epsilon + M)$ で境界づけられ、ここで $\epsilon$ は近似誤差を制御する。
• $k$-可解的部分は、$\mathcal{H}^k \llcorner \mathcal{K}_0 \leq c(k)\epsilon^{-1} \mu$ を開集合上で満たし、可解的部分に対する定量的制御が得られる。
• もし $\mu$ がすべてのスケールで $β_2$-推定を満たすならば、$\mu(B_r(x)) \leq c(n)(1 + M/\epsilon)r^k$ を満たし、零集合を除いて上付きアーフォルス正則性が成り立つ。
• $\u03b2_2$-推定は、$\mu$-ほとんど everywhere での上付き密度 $\Theta^{*,k}(\mu,x) \leq 1$ を示し、可解性への重要なステップとなる。
• 結果は鋭い：例により、密度仮定なしに境界を改善することは不可能であり、仮定が追加されない限り最適であることが示される。