[論文レビュー] Quantization and Derived Moduli Spaces I : Shifted Symplectic Structures

Tony Pantev, G. Vezzosi|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、導来アーティン n スタックにおけるシンプレクティック幾何の導来一般化として n-シンプレクティック構造を導入し、再帰的群の分類スタックおよび完全複体の導来スタックが自然な 2-シンプレクティック構造を持つことを証明する。主要な結果として、X が d 次元のカラビ・ヤウ多様体で、F が n-シンプレクティックな導来スタックであるとき、導来写像スタック Map(X,F) は自然な (n−d)-シンプレクティック構造を引き継ぐ。これにより、カラビ・ヤウ多様体や多様体上の完全複体の導来モジュライ空間に新たなシンプレクティック構造が得られ、特に導来モジュライ空間の例が得られる。

ABSTRACT

This is the first of a series of papers about quantization in the context of derived algebraic geometry. In this first part, we introduce the notion of n-symplectic structures, a generalization of the notion of symplectic structures on smooth varieties and schemes, meaningful in the setting of derived Artin n-stacks (see [HAG-II, To2]). We prove that classifying stacks of reductive groups, as well as the derived stack of perfect complexes, carry canonical 2-symplectic structures. Our main existence theorem states that for any derived Artin stack F equipped with an n-symplectic structure, the derived mapping stack Map(X,F) is equipped with a canonical (n − d)-symplectic structure as soon a X satisfies a Calabi-Yau condition in dimension d. These two results imply the existence of many examples of derived moduli stacks equipped with n-symplectic structures, such as the derived moduli of perfect complexes on CalabiYau varieties, or the derived moduli stack of perfect complexes of local systems on a compact and oriented topological manifold. We explain how the known symplectic structures on smooth moduli spaces of simple objects (e.g. simple sheaves on CalabiYau surfaces, or simple representations of π1 of compact Riemann surfaces) can be recovered from our results, and that they extend canonically as 0-symplectic structures outside of the smooth locus of simple objects. We also deduce new existence statements, such as the existence of a natural (−1)-symplectic structure (whose formal counterpart has been previously constructed in [Co, Co-Gw]) on the derived mapping

研究の動機と目的

• 導来アーティン n スタックの文脈において、n-シンプレクティック構造という概念を用いてシンプレクティック構造を一般化すること。
• 再帰的群の分類スタックおよび完全複体の導来スタックに自然な 2-シンプレクティック構造が存在することを確立すること。
• X がカラビ・ヤウ d 次元多様体であるとき、F が n-シンプレクティックな導来スタックであれば、導来写像スタック Map(X,F) に (n−d)-シンプレクティック構造が存在することを証明する一般定理を確立すること。
• 既知の滑らかさを持つモジュライ空間にシンプレクティック構造が存在する場合を特別なケースとして回復し、0-シンプレクティック構造を用いて特異点集合へ自然に拡張すること。
• コンパクトで向き付け可能な多様体上に、導来写像スタックに自然な (−1)-シンプレクティック構造が存在することを示す、新たな存在結果を導出すること。

提案手法

• 導来アーティン n スタックの文脈において、シンプレクティック幾何の導来一般化として n-シンプレクティック構造の概念を導入すること。
• 特に [HAG-II, To2] からの枠組みを用い、高階スタックおよび導来代数的幾何の枠組みを用いて n-シンプレクティック構造を定義・分析すること。
• d 次元の多様体 X におけるカラビ・ヤウ条件を適用し、導来写像スタック Map(X,F) 上でシンプレクティック次数が n から (n−d) にシフトすることを示すこと。
• 完全複体の導来スタックおよび再帰的群の分類スタックに自然な 2-シンプレクティック構造が存在することを、基礎的な例として活用すること。
• 導来写像スタック Map(X,F) を導来モジュライ空間として構成し、その余接複体に非退化な (n−d)-シフトシンプレクティック形式が存在することを示すこと。
• 形式的および幾何的議論を用いて、滑らかなモジュライ空間上の既知のシンプレクティック構造が、特異点集合へ 0-シンプレクティック構造として自然に拡張されることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な滑らかさの設定を超えて、シンプレクティック構造を導来代数的スタックへ一般化する方法は何か？
• RQ2 ベース多様体 X が満たすべき条件は何か？ これにより、F が n-シンプレクティックであるとき、導来写像スタック Map(X,F) がシフトされたシンプレクティック構造を引き継ぐ。
• RQ3 導来的手法を用いて、単純な層や表現のモジュライ空間に既知のシンプレクティック構造が回復され、滑らかでない部分へ拡張可能か？
• RQ4 カラビ・ヤウ条件が導来写像スタック上でのシンプレクティック次数のシフトに与える影響は何か？
• RQ5 この枠組みから、特にカラビ・ヤウ多様体や多様体上での導来モジュライスタックに、シフトされたシンプレクティック構造を持つ新たな例が得られるか？

主な発見

• 完全複体の導来スタックおよび再帰的群の分類スタックは、それぞれ自然な 2-シンプレクティック構造を持つ。
• 任意の n-シンプレクティック構造を持つ導来アーティンスタック F に対して、X がカラビ・ヤウ d 次元多様体であるとき、導来写像スタック Map(X,F) は自然な (n−d)-シンプレクティック構造を引き継ぐ。
• カラビ・ヤウ表面上の単純な層のモジュライ空間およびコンパクトリーマン面の π₁ の単純な表現のモジュライ空間に既知のシンプレクティック構造は、一般構成の特別なケースとして回復される。
• これらの既知のシンプレクティック構造は、特異点集合を含む全モジュライスタックへ 0-シンプレクティック構造として自然に拡張可能である。
• コンパクトで向き付け可能な位相的多様体上に、導来写像スタックに自然な (−1)-シンプレクティック構造が存在し、以前の形式的構成を拡張する。
• この枠組みは、特にカラビ・ヤウ多様体上の完全複体の導来モジュライに、シフトされたシンプレクティック構造を持つ新たな導来モジュライスタックを体系的に生成する方法を提供する。