[論文レビュー] Quantization of classical dynamical $r$-matrices with nonabelian base

Benjamin Enriquez, Pavel Etingof|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2003

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Xuの意味での動的（擬）twistを用いて、非アーベルなリー代数上での古典的動的r行列の量子化を構成する。Etingof, Schiffmann, Varchenkoらの先行研究を一般化し、(a)〜(d)のケースにおけるr行列の明示的公式を提示。特にDe Concini型のポisson同調空間に対して、ゲージ同値な量子化写像を用いて等変性のある星積を構成する。

ABSTRACT

We construct some classes of dynamical $r$-matrices over a nonabelian base, and quantize some of them by constructing dynamical (pseudo)twists in the sense of Xu. This way, we obtain quantizations of $r$-matrices obtained in earlier work of the second author with Schiffmann and Varchenko. A part of our construction may be viewed as a generalization of the Donin-Mudrov nonabelian fusion construction. We apply these results to the construction of equivariant star-products on Poisson homogeneous spaces, which include some homogeneous spaces introduced by De Concini.

研究の動機と目的

• 非アーベルな基底リー代数への古典的動的r行列理論の拡張。
• Xuの意味での動的（擬）twistを用いた、このようなr行列の明示的量子化の構成。
• Donin-Mudrovの非アーベル融合構成をこの設定に一般化すること。
• 結果を、De Concini型を含むポアソン同調空間上での等変性のある星積の構成に応用すること。
• 同じポアソン構造に対して異なる量子化写像の間のゲージ同値性の確立。

提案手法

• 著者らは、非退化な分解 $ \frak{g} = \frak{l} \rtimes \frak{u} $ を用いて、$ \nu \in \frak{l}^* $ に関する一次式の有理関数としての r 行列 $ r_{\frak{l}}^\frak{g}(\nu) $ を定義し、古典的動的ヤン・バクスター方程式（CDYBE）を満たす。
• 彼らは命題 0.1 を適用して r 行列を合成し、$ \sigma(\lambda) = r_{\frak{k}}^{\frak{l}}(\lambda) + \rho|_{\frak{k}^*}(\lambda) $ を介して $ ({\frak{g}},{\frak{l}},Z) $-r 行列から $ ({\frak{g}},{\frak{k}},Z) $-r 行列へ写像することで、再帰的構成を可能にする。
• 二次的リー代数に対して、Alekseev-Meinrenken の r 行列と関数 $ f(x) = -1/x + \pi \cot(\pi x) $ を用いて、r 行列 $ \rho_c(\lambda) $ および $ \rho_{\sigma,c}(\lambda) $ を構成し、中心的荷重 $ -\pi^2 c^2 Z $ を持つ CDYBE の解が得られる。
• 彼らは Drinfeld の結合子と擬twist $ J $ を用いて r 行列を量子化し、$ \widetilde{d}(J) = \Phi_{\frak{g}} $ を満たすようにし、星積を $ f*g = m(\mathbb{L}(J^{-1})\mathbb{R}(w^{\otimes 2}(J))(f\otimes g)) $ で構成する。
• 彼らは、$ w^{\otimes 2}(J) $ を用いる量子化写像と $ J_w J $ を用いる量子化写像の間のゲージ同値性を示し、$ J_1 = u^{\otimes 2} J_2 \Delta_0(u)^{-1} \xi $ かつ $ \xi = \exp(\operatorname{d}(\eta)) $ を示した。さらに、$ \wedge^2({\frak{g}})^{\frak{g}} = 0 $ であることから、コhomologyの消滅により $ \xi $ がゲージ同値であることを証明した。
• 彼らは、Lusztig-Soibelman の自己同型 $ T_w $ と Drinfeld-Jimbo の量子群 $ U_\hbar({\frak{g}}) $ を用いて、ポアソン同調空間 $ G/T $ にこの構成を適用し、明示的な等変性のある星積を導出した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベルな基底リー代数上での古典的動的r行列を、体系的にどのように構成・量子化できるか。
• RQ2 Donin-Mudrov の非アーベル融合構成は、非アーベルな基底設定にどの程度一般化可能か。
• RQ3 非自明な中心的荷重を持つr行列の動的擬twistによる量子化は可能か。
• RQ4 同じポアソン構造に対して異なる量子化写像はどのように関係し、それらはゲージ同値か。
• RQ5 $ G/T $ のようなポアソン同調空間に対して、これらの量子化済みr行列を用いて明示的な等変性のある星積を構成できるか。

主な発見

• 著者らは、$ r_{\frak{l}}^{\frak{g}}(\lambda) \in (\wedge^2({\frak{g}}) \otimes S^{\cdot}(\frak{l})[1/D_0])^{\frak{l}} $ という有理関数のクラスを構成し、$ \lambda $ に関して一次式の同次的で、古典的動的ヤン・バクスター方程式を満たすことを示した。
• 二次的リー代数に対して、$ \rho_c(\lambda) = r_{\frak{l}}^{\frak{g}}(\lambda) + c(f(c\operatorname{ad}(\lambda^\vee)) \otimes \operatorname{id})(t) $ を定義し、$ \operatorname{CYB}(\rho_c) - \operatorname{Alt}(d\rho_c) = -\pi^2 c^2 Z $ を満たすことを示した。ここで $ Z = [t^{1,2}, t^{2,3}] $ である。
• 彼らは、自己同型 $ \sigma $ を用いて、$ \rho_{\sigma,c}(\lambda) $ という変形r行列を定義し、$ \lambda^\vee = (\lambda \otimes \operatorname{id})(t_{\frak{l}}) $ を用いて、同じ方程式と中心的荷重を持つ解を得た。
• 本稿では、$ w^{\otimes 2}(J) $ を用いる量子化写像と $ J_w J $ を用いる量子化写像がゲージ同値であることを確立し、$ J_1 = u^{\otimes 2} J_2 \Delta_0(u)^{-1} \xi $ かつ $ \xi = \exp(\operatorname{d}(\eta)) $ であることを示した。
• コhomology的議論は、$ \wedge^2({\frak{g}})^{\frak{g}} = 0 $ に依拠しており、これにより $ \xi_n = \operatorname{d}(\eta_n) $ が成り立ち、ゲージ変換の帰納的構成が可能になる。
• この構成により、$ f*g = m(\mathbb{L}(J^{-1})\mathbb{R}(w^{\otimes 2}(J))(f\otimes g)) $ を用いた明示的な等変性のある星積が、$ G/T $ のようなポアソン同調空間上で得られ、$ f*g = m_\hbar(\mathbb{R}(J_w)(f\otimes g)) $ を通じる別法も提示され、両者が等価であることが示された。