[論文レビュー] Quantization of classical integrable systems. Part I: quasi-integrable quantum systems

Massimo Marino, N. N. Nekhoroshev|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2010

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、古典的非可換可積分性を量子系に一般化することで、量子可積分性の新概念「準可積分量子系」を導入する。量子設定における関数的独立性を保証するため、運動量における微分作用素の主要部を用いた準独立性を定義し、代数的依存性が排除されることを証明する。これにより、標準的な可換性条件を超えた量子可積分性の堅固な基盤が構築される。

ABSTRACT

We propose in this work a concept of integrability for quantum systems, which corresponds to the concept of noncommutative integrability for systems in classical mechanics. We determine a condition for quantum operators which can be a suitable replacement for the condition of functional independence for functions on the classical phase space. This condition is based on the properties of the main parts of the operators with respect to the momenta. We are led in this way to the definition of what we call a "quasi-integrable quantum system". This concept will be further developed in a series of following papers.

研究の動機と目的

• 古典的非可換可積分性の量子アナログを定義し、標準的なリウヴィル可積分性を超えて拡張する。
• 位相空間関数の関数的独立性を量子作用素に翻訳する課題に取り組む。
• 微分作用素の主要部の代数的独立性に基づく、量子系のための新しい可積分性条件を提案する。
• 量子作用素間の代数的依存性を排除する枠組みを確立し、量子設定における真正の独立性を保証する。

提案手法

• 微分作用素の最高次の運動量成分である「主要部」の概念を導入し、古典的関数的独立性を一般化する。
• 作用素集合の「準独立性」を、その主要部の微分の線形独立性に関する条件として定義する。
• 主要部の微分からなる行列のランクを用いて独立性の度合いを特徴づけ、ランクが s−1 であれば点で準独立性を示す。
• 微分幾何学および作用素論の結果を応用し、コベクトル部分空間や正則依存条件を用いて作用素集合を分析する。
• 作用素代数における再帰的構造を用い、運動量の係数間の関係を用いて依存性の必要十分条件を導出する。
• 係数行列の行列式が非ゼロであるという矛盾による議論を用いて、準独立性が代数的依存性を排除することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相空間関数間の関数的独立性という古典的概念を、量子作用素へ一般化する方法は何か？ その際、可積分性が保たれるようにするには？
• RQ2 量子作用素が代数的に依存していないことを保証する条件は何か？ これにより真正の可積分性が実現可能となる。
• RQ3 古典力学における非可換可積分性の概念を、作用素構造を用いて量子系に一貫して拡張可能か？
• RQ4 微分作用素の最高次（主要）部が、量子作用素集合の独立性を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 作用素集合が同時に準独立かつ正則依存である条件は何か？ 係数解析を用いてどのように検出できるか？

主な発見

• 主要部の微分の線形独立性に基づく準独立性の条件は、量子作用素間の代数的依存性を排除するのに十分である。
• 任意の点 (x,p) において、主要部の微分からなる行列のランクが s−1 であれば、作用素集合は準独立である。
• 2つの1次作用素の正則依存性の必要十分条件は、それらの低次の係数が特定の微分関係式を満たすことである： mf_{l-1}(x) - lg_{m-1}(x) = c。
• l=m=1 の場合、正則依存性が成り立つのは f(x) = g(x) + c のときであり、これは作用素間の定数相関に対応する。
• コベクトル v の dx の係数がゼロでない限り、集合は正則依存にはなり得ないことが示され、非依存性の明確な基準が確立される。
• この枠組みにより、準独立でも正則依存でもない作用素の例を構成可能であり、導入された条件の精密さが示された。