[論文レビュー] Quantization of Field Theory on the Light Front

V. A. Franke, S. A. Paston+2 more|ArXiv.org|Apr 4, 2004

Photonic and Optical Devices参考文献 3被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、標準的場理論と同等のローレンツおよびゲージ不変なハミルトニアンを構成するという挑戦に応える、光線座標（LF）上での量子場理論の正準量子化フレームワークを提示する。LF摂動理論とフェ Feynman ルールの比較を通じて、QED-1+1 および QCD-3+1 に対して一貫性のある LF ハミルトニアンを導出し、$x^{-}$ における周期的境界条件と横方向格子を用いたゲージ不変な正則化を導入することで、問題となるゼロモード制約を回避しつつ摂動的同等性を保つ。

ABSTRACT

Canonical formulation of quantum field theory on the Light Front (LF) is reviewed. The problem of constructing the LF Hamiltonian which gives the theory equivalent to original Lorentz and gauge invariant one is considered. We describe possible ways of solving this problem: (a) the limiting transition from the equal-time Hamiltonian in a fast moving Lorentz frame to LF Hamiltonian, (b) the direct comparison of LF perturbation theory in coupling constant and usual Lorentz-covariant Feynman perturbation theory. The results of the application of method (b) to QED-1+1 and QCD-3+1 are given. Gauge invariant regularization of LF Hamiltonian via introducing a lattice in transverse coordinates and imposing periodic boundary conditions in LF coordinate x^- for gauge fields on the interval |x^-| smaller than L is also considered.

研究の動機と目的

• 光線座標上での量子場理論の正準量子化フレームワークを確立し、ローレンツおよびゲージ不変性を維持すること。
• 標準的ローレンツ共変場理論と同等の光線座標ハミルトニアンを構成するという課題を解決すること。
• フェ Feynman 摂動理論との直接比較を通じて、QED-1+1 および QCD-3+1 に対して摂動的に同等の LF ハミルトニアンを提供すること。
• 横方向格子と $x^{-}$ における周期的境界条件を用いたゲージ不変な正則化スキームを構築し、ゼロモードに関する制約の必要性を回避すること。

提案手法

• 時間として $x^+$ を用いる光線座標 $x^{\pm} = (x^0 \pm x^3)/\sqrt{2}$ を用い、$x^+ = \text{const}$ の超曲面上での正準量子化を定義する。
• 高速移動ローレンツ系からの極限的遷移を用いて、等時刻ハミルトニアンと光線座標ハミルトニアンを関連付ける。
• 結合定数における LF 摂動理論と、標準的ローレンツ共変フェ Feynman ルールとの直接比較により、同等の LF ハミルトニアンを導出する。
• 横方向座標 ($x^1, x^2$) における格子と $x^{-}$ における周期的境界条件を用いたゲージ不変な正則化を実装し、格子リンク上の複素行列として横方向ゲージ場を扱う。
• 離散的 $p_{-} = \pi n / L$ を持つフーリエモードを用いて $p_{-} = 0$ の発散を回避し、ゼロモード制約を排除する。
• ハミルトニアン形式から導かれる代数的関係を用いてゼロモードの制約方程式を解き、物理ヒルベルト空間におけるゼロモードへの明示的依存を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 摂動的展開が標準的ローレンツ共変フェ Feynman 摂動理論と一致するような光線座標ハミルトニアンを構成できるか？
• RQ2 標準的正則化スキームでこれらの対称性が破れるにもかかわらず、光線座標量子化においてローレンツおよびゲージ不変性をどのように維持できるか？
• RQ3 ゼロモードは光線座標場理論においてどのような役割を果たし、ハミルトニアン形式において一貫して取り扱えるか？
• RQ4 ゼロモードを含む複雑な制約方程式の解法を回避する、光線座標上でのゲージ不変な正則化スキームを構築できるか？
• RQ5 $x^{-}$ の周期的境界条件と格子正則化による離散化は、摂動的に同等の理論を導くか？

主な発見

• フェ Feynman 摂動理論との直接比較によって得られた LF ハミルトニアンは、QED-1+1 および QCD-3+1 に対して、元のローレンツ不変理論と摂動的に同等であることを保証する。
• $|x^{-}| < L$ における $x^{-}$ における周期的境界条件による正則化は $p_{-}$ を離散化し、$p_{-} = 0$ 発散を排除し、明確なフォック空間量子化を可能にする。
• 横方向座標 $x^1, x^2$ における格子正則化と行列値ゲージ変数を用いることで、ゼロモードと非ゼロモードの間の複雑な制約方程式の解法の必要性が回避される。
• この方法により、ゲージ不変な正則化が得られ、量子論的レベルで元の理論の構造が保たれ、対称性の異常を回避する。
• 被積分関数の有界性が一様に制御されている限り、$ε \to 0$ および $L \to \infty$ の極限において一貫性が保証され、経路積分の収束と微分の下での極限の正当性が保証される。
• 行列 $A$ の固有値がゼロから一様に離れている限り、$\hat{\varphi}$ の特異性が存在しないことが証明され、摂動的展開の有効性が保証される。