[論文レビュー] "Quantization" of higher hamiltonian analogues of the Painleve I and Painleve II equations with two degrees of freedom

B. I. Suleǐmanov|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2012

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2自由度のPainlevé IおよびII階層の高次ハミルトニアン類似系に対するシュレーディンガー方程式の明示的解を構成する。等モノドロミー変形系の解に変数変換を適用することで、変数zおよびtにおける2つの可換ハミルトニアンに従うシュレーディンガー型方程式を満たす解が得られ、高次Painlevé階層に対する新しい量子化枠組みが確立される。

ABSTRACT

We construct a solution of an analog of the Schrödinger equation for the Hamiltonian $ H_I (z, t, q_1, q_2, p_1, p_2) $ corresponding to the second equation $P_1^2$ in the Painleve I hierarchy. This solution is produced by an explicit change of variables from a solution of the linear equations whose compatibility condition is the ordinary differential equation $P_1^2$ with respect to $z$. This solution also satisfies an analog of the Schrödinger equation corresponding to the Hamiltonian $ H_{II} (z, t, q_1, q_2, p_1, p_2) $ of Hamiltonian system with respect to $t$ which is compatible with $P_1^2$. A similar situation occurs for the $P_2^2$ equation in the Painleve II hierarchy.

研究の動機と目的

• 2自由度を有するPainlevé IおよびII階層に対応する高次ハミルトニアン系の量子化手順を開発すること。
• 等モノドロミー変形法を拡張し、これらの系に対するシュレーディンガー型方程式の明示的解を構成すること。
• 線形系の整合性条件が$P_1^2$または$P_2^2$である場合に得られる解が、zおよびtにおける2つの異なるハミルトニアンに従うシュレーディンガー方程式を満たすことを示すこと。
• スケーリング変換を用いて、パrameter$\varepsilon$を含むシュレーディンガー方程式と古典的ハミルトニアン系との間の形式的関係を確立すること。
• $\varepsilon$-依存ハミルトニアンを有するシュレーディンガー方程式として定義される「量子化」の体系的枠組みを、高次Painlevé方程式に対して提供すること。

提案手法

• Garvinの研究から得られる等モノドロミー変形系（IDS）を、Painlevé方程式の基礎となる線形系として用いる。
• 変数変換$V = \sqrt{y - \lambda} \, W$を適用し、係数が変更された新たな形式の線形系に変換する。
• 変換された系から得られる整合性条件により、変数$\tau$における非線形常微分方程式$P_1^2$または$P_2^2$が導かれる。これはPainlevé IおよびII階層の第二メンバーに対応する。
• ゲージ変換$\Psi = \exp\left(\int H(\nu, \lambda, \mu) d\nu\right) V$を導入し、系を$\Psi_\tau = \frac{1}{2}\Psi_{yy} - Q(y, \tau)\Psi$の形の発展方程式に変換する。これによりシュレーディンガー型方程式が定義される。
• スケーリング変換$z = \varepsilon \tau$, $x = \varepsilon y$, $q = \varepsilon \lambda$を施し、運動量に関して2次であるハミルトニアン$H(z, q, p)$を有する$\varepsilon$-依存シュレーディンガー方程式を得る。
• 得られた$\varepsilon$-依存シュレーディンガー方程式を、$\varepsilon$がプランク定数に結びつかない場合でも、古典的ハミルトニアン系の「量子化」として定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2自由度のPainlevé IおよびII方程式の高次ハミルトニアン類似系に対して、シュレーディンガー型方程式の明示的解を構築できるか？
• RQ2 Painlevé IおよびII階層の$P_1^2$および$P_2^2$に対する等モノドロミー変形系は、zおよびtにおける2つの異なるハミルトニアンに従うシュレーディンガー方程式の解をどのように導くか？
• RQ3 得られたシュレーディンガー方程式におけるパrameter$\varepsilon$の役割は何か？また、古典的ハミルトニアン系とどのように関係するか？
• RQ4 線形系からシュレーディンガー方程式への変換を、高次Painlevé階層へ体系的に拡張できるか？
• RQ5 $\varepsilon$をプランク定数ではなく独立パラメータとして扱う場合、「量子化」枠組みの意義は何か？

主な発見

• ハミルトニアン$H_1(z,t,q_1,q_2,p_1,p_2)$を有するシュレーディンガー方程式の解は、$z$における$P_1^2$方程式の整合性条件を満たす線形系の解からの明示的変数変換によって構成される。
• 同じ変換された解は、別のハミルトニアン$H_2(z,t,q_1,q_2,p_1,p_2)$に従うシュレーディンガー方程式の類似解を満たしており、これは可換ハミルトニアン系の$t$-発展に対応する。
• Painlevé II階層における$P_2^2$方程式に対しても同様の構成が成り立ち、両階層にわたるこの手法の普遍性が示される。
• 得られたシュレーディンガー方程式は$\varepsilon$-依存ハミルトニアンを有し、$\varepsilon$が量子力学的定数に結びつかない場合でも、この枠組みは「量子化」と呼ばれる。
• この手法はゲージ変換とスケーリングに依存しており、古典的ハミルトニアン系を運動量に非自明な$\varepsilon$-依存性を有するポテンシャルを持つシュレーディンガー型方程式に写像する。
• 等モノドロミー変形理論を用いたこのアプローチにより、高次Painlevé方程式に対する解の体系的構成が可能となり、高次類似系の「量子化」に関する文献の空白を埋める。