[論文レビュー] Quantization of Hydrodynamics: Rotating Superfluid and Gravitational Anomaly

P. Wiegmann|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2019

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、重力異常を通じて2次元量子重力と結びつけることにより、広範な渦度を持つキラルな2次元理想流体力学を一貫して量子化する手法を提示する。この手法により、微分同相変換不変正則化を介して、古典的ヘルムホルツの渦固定条件を破るが、リラベル対称性を保つ量子応力テンソルとしての量子補正が得られ、Virasoro代数が生成され、不安定性が安定化される。

ABSTRACT

We present a consistent scheme of quantization of chiral flows (flows with extensive vorticity) in ideal hydrodynamics in two dimensions. Chiral flows occur in rotating superfluid, rotating turbulence and also in electronic systems in the magnetic field in the regime of a fractional Hall effect. The quantization is based on a geometric relation of chiral flows to two-dimensional quantum gravity and is implemented by the gravitational anomaly. The effect of the gravitational anomaly violates the major property of classical hydrodynamics, the Helmholtz law: vortices are no longer frozen into the flow. Effects of quantization could be cast in the form of quantum stress. We show that the quantum stress generates Virasoro algebra, the centrally extended algebra of holomorphic diffeomorphisms.

研究の動機と目的

• 2次元において線形近似を超える非線形理想流体力学を一貫して量子化する長年の課題を解決すること。
• 微分同相変換不変性を指針として用い、キラルな流れと2次元量子重力の間の幾何的対応関係を確立すること。
• リラベル対称性を保ちつつ、古典的渦固定を破る、普遍的な量子補正をEuler方程式に導出すること。
• 重力異常から生じる量子応力テンソルが、流体力学的不安定性を安定化させるとともに、Virasoro代数を生成することを示すこと。
• 回転超流動系と分数量子ホール状態の両方において、SDiffと微分同相変換不変正則化に基づく統一的枠組みを通じて、量子化が一貫していることを示すこと。

提案手法

• 面積保存微分同相変換（SDiff）のLie-Poisson代数に、{ , } → (iħ)⁻¹[ , ] の置換を適用することで、形式的量子化を実行する。
• リラベル対称性を保存する微分同相変換不変正則化を導入し、重力異常によって量子補正が一意に決定されることを実装する。
• 量子応力テンソルをEuler方程式への補正の源として導出し、高次微分と基本的渦度循環スケールΓの関数として表現する。
• 複素座標を用いて、せん断流れを生成する四極モーメント演算子（Qzz, Qz̄z̄, Qz̄z）を表現し、それらが交換関係においてsl(2,ℝ)代数を形成することを示す。
• 量子応力の時間発展に対する四極モーメントへの影響を、DtQzz = (i/2)∫Tzz dV という式を用いて特定する。ここでTzzは量子応力である。
• 量子応力テンソルのLie-Poisson代数が、正則微分同相変換の中心拡大代数であるVirasoro代数に同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リラベル不変性といった基本的対称性を保ちながら、キラルな2次元理想流体力学を一貫して量子化する方法は何か？
• RQ2 重力異常は、キラル流れにおける古典的Euler方程式にどのように量子補正を生成するか？
• RQ3 量子応力テンソルは、古典的ヘリクスの渦固定条件をどのように破り、その力学的結果は何か？
• RQ4 なぜ量子補正が流体力学的不安定性を安定化させるのか？また、微分同相変換不変正則化からどのように生じるのか？
• RQ5 量子応力テンソルの背後にある代数的構造は何か？そして2次元量子重力とどのように関係するか？

主な発見

• 重力異常から生じる量子応力テンソルは、非局所的かつ高次微分項を含む補正をEuler方程式に導入し、古典的スケーリング不変性を破る。
• 量子応力の影響により、渦度の対角成分がもはや流れに固定されなくなる。これは古典的ヘルムホルツの法則に反するが、ケルビンの循環定理は保持される。
• 量子応力テンソルは、応力テンソルのLie-Poisson代数を通じて、正則微分同相変換の中心拡大代数であるVirasoro代数を生成する。
• 四極モーメント演算子Qzz, Qz̄z̄, Qz̄zは交換関係においてsl(2,ℝ)代数を形成し、Qz̄zの固有値はℏ(k + l/2)に比例する。ここでkはバーグマン指数である。
• 一様渦度流れにおいて、せん断四極モーメントQzzの時間変化率はℏΩVL₋₂に比例し、拡大に起因する量子補正が現れる。
• 量子補正は微分同相変換不変性によって一意に決定され、摂動的でない性質を示し、FQHE系では顕著な観測効果を示し、超流動ヘリウムや超低温原子系では小さくても無視できない効果を示す。