[論文レビュー] Quantization of Kähler manifolds admitting $H$-projective mappings

A. V. Aminova, Dmitry A. Kalinin|ArXiv.org|Aug 4, 1995

Advanced Differential Geometry Research参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、H-射影写像を有するケーラー多様体の幾何学的量子化を検討し、n次元調和振動子代数の変形をなす古典的観測可能量を持つ系に焦点を当てる。幾何学的量子化を用いて、定曲率の複素幾何的曲率を示すケーラー多様体の量子表現を構成し、H-射影構造を有するより一般的なケーラー多様体へと枠組みを拡張し、このような系の体系的量子化手順を提供する。

ABSTRACT

We discuss the quantization of mechanical systems for which the Hamiltonian vector fields of observables form the deformation of $n$-dimensional oscilator algebra. Because of this fact these systems can be considered as "deformations" of the harmonic oscillator. The set of abovementioned mechanical systems are realized at the classical level in the form of Kähler manifolds of constant holomorphic curvature. Such mechanical systems are quantized later with the help of the geometric quantization approach. We also discuss the quantization of more general Kähler manifolds (not necessarily of constant holomorphic curvature) admitting $H$-projective mappings.

研究の動機と目的

• 古典的観測可能量がn次元振動子代数の変形をなす力学系のための幾何学的量子化枠組みを構築すること。
• 定曲率の複素幾何的曲率を示すケーラー多様体が、このような系の自然な古典的位相空間として機能することを分析すること。
• 定曲率でないケーラー多様体へと量子化手順を拡張し、H-射影写像を有する一般のケーラー多様体へと適用すること。
• H-射影幾何と変形振動子系における量子観測可能量の構造との間の対応関係を確立すること。

提案手法

• 多様体のケーラー構造に適合する極化を用いた幾何学的量子化を実施する。
• ケーラー条件を用いて、整合性のある複素構造とヘルミート計量を定義し、予量子線束の構成を可能にする。
• H-射影写像を用いて、異なるケーラー構造を関連づけ、特定の状況では全純曲率を保存する。
• 観測可能量のハミルトニアンベクトル場と整合性のある実極化を選択することで、量子表現を導出する。
• 振動子代数の変形を用いて、定曲率の複素幾何的曲率を示すケーラー多様体に制限する。
• H-射影写像の存在と性質を分析することにより、非定曲率ケーラー多様体への形式主義の拡張を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的対象が変形振動子代数対称性を持つ力学系を、ケーラー多様体上でどのように幾何学的に量子化できるか。
• RQ2 H-射影写像は、異なるケーラー多様体間で量子化構造をどのように保存するか。
• RQ3 どのケーラー多様体がH-射影写像を有し、それが量子化にどのように影響するか。
• RQ4 定曲率でない多様体へと幾何学的量子化手順を一般化できるか。
• RQ5 振動子代数の変形とH-射影構造の存在との間にはどのような関係があるか。

主な発見

• 定曲率の複素幾何的曲率を示すケーラー多様体は、変形振動子代数対称性を持つ力学系を自然に実現する。
• 幾何学的量子化は、これらの多様体に成功裏に適用され、一貫性のある量子表現が得られる。
• H-射影写像は、異なるケーラー多様体を関連づける幾何的メカニズムを提供し、定曲率でない場合の量子化枠組みの拡張を可能にする。
• H-射影写像の存在は、複素構造と量子化データとの整合性を保証する。
• 本稿は、古典的観測可能量がn次元振動子代数の変形をなす系のための体系的量子化手法を確立する。
• この枠組みにより、基礎となるケーラー多様体の幾何から、量子ヒルベルト空間と演算子を構成することが可能になる。