[論文レビュー] Quantization of Lie bialgebras, V

Pavel Etingof, David Kazhdan|ArXiv.org|Aug 28, 1998

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 114

ひとこと要約

本稿は、標準的な局所性公理の代わりに、量子ヤン・バクスター方程式のユニタリ解 $σ$ に基づく $\sigma$-局所性条件を用いて、量子頂点作用代数 (qVOA) の新しい枠組みを導入する。$RTT = TTR$ 関係を用いて、量子ループ代数に量子 VOA 構造を確立し、その結果得られる代数が $σσ_N$ に対して量子アフィン VOA と一致することを証明する。また、古典的極限がアフィン VOA を回復することを示す。主な貢献は、量子群と擬微分作用素による擬古典的構造を用いた、アフィン VOA の体系的な量子化である。

ABSTRACT

This paper is a continuation of "Quantization of Lie bialgebras I-IV". The goal of this paper is to define and study the notion of a quantum vertex operator algebra in the setting of the formal deformation theory and give interesting examples of such algebras. In particular, we construct a quantum vertex operator algebra from a rational, trigonometric, or elliptic R-matrix, which is a quantum deformation of the affine vertex operator algebra. The simplest vertex operator in this algebra is the quantum current of Reshetikhin and Semenov-Tian-Shansky.

研究の動機と目的

• 古典的 VOA の局所性公理を、量子ヤン・バクスター方程式のユニタリ解 $\mathcal{S}$ を用いて変形することで、量子頂点作用代数 (qVOA) を定義すること。
• qVOA の擬古典的極限を定義し、古典的 VOA に、古典的ヤン・バクスター方程式の解 $s$ によって定義される擬古典的構造を備えたものとする。
• 量子ループ群と $RTT = TTR$ 関係を用いて、$\mathfrak{sl}_N$ の明示的量子 VOA を構成し、既知の量子電流代数を一般化すること。
• 有理的 $r$-行列に対して、$\mathbb{P}^1$ 上の自己同型ブロックを用いた量子 VOA が、$RTT$-ベースの構成と一致することを示すこと。
• 量子 VOA の古典的極限が標準的なアフィン VOA であり、擬古典的構造が古典的 VOA の擬微分作用素から生じることを示すこと。

提案手法

• 量子ヤン・バクスター方程式のシフト不変なユニタリ解 $\mathcal{S}$ を用いて、局所性公理を $\mathcal{S}$-局所性に置き換えることで、量子 VOA を定義する。
• 結合則の回復のため、六角形公理を導入し、量子設定下での VOA 全体の構造を保証する。
• $RTT = TTR$ 形式を用いて量子 VOA を構成し、頂点作用素を量子電流 $\mathcal{T}$ を用いて定義する。ここで $\mathcal{T}$ は $R\mathcal{T}R\mathcal{T} = \mathcal{T}R\mathcal{T}R$ を満たす。
• コインvariant構成を用いて、量子モジュール上での頂点作用素 $Y$ を定義し、真空および Sugawara 演算子と整合性を保つようにする。
• 古典的極限 $V^0 = V/hV$ は非退化なアフィン VOA であり、擬古典的構造 $s = \frac{d\mathcal{S}}{dh}\big|_{h=0}$ は $V^0$ の擬微分作用素のリー代数 $\text{PDer}(V^0)$ に値をとる。
• $RTT$-ベースの構成と、有理的 $r$-行列に対する自己同型ブロック構成との間で等価性を証明し、両者の整合性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子ヤン・バクスター方程式の解を用いて、頂点作用代数の概念を量子的設定に一般化する方法は何か？
• RQ2 $\mathcal{S}$-局所性と六角形公理を備えた braided VOA が、完全な結合則を満たし、量子 VOA を形成するための条件は何か？
• RQ3 擬微分作用素と古典的ヤン・バクスター方程式を用いて、古典的 VOA における擬古典的構造をどのように特徴づけられるか？
• RQ4 $\mathfrak{sl}_N$ に関連する量子 VOA を、量子ループ群と $RTT$ 関係を用いて明示的に構成できるか？
• RQ5 有理的 $r$-行列に対して、$\mathbb{P}^1$ 上の自己同型ブロックを用いた量子 VOA は、$RTT$-ベースの構成と同一の量子 VOA を得るか？

主な発見

• 量子 VOA $\tilde{V}_q(\mathfrak{sl}_N,K,R)$ は $RTT = TTR$ 形式を用いて構成され、頂点作用素は公式 $Y(T^{1,n+1}(u_1)\cdots T^{n,n+1}(u_n)\Omega,z) = T^{1,n+1}(u_1+z)\cdots T^{n,n+1}(u_n+z)T^{*n,n+1}(u_n+z+Kh/2)\cdots T^{*1,n+1}(u_1+z+Kh/2)$ で明示的に定義される。
• 構成された量子 VOA $\tilde{V}_q(\mathfrak{sl}_N,K,R)$ は、既知の量子アフィン VOA $V_q(\mathfrak{sl}_N,K,R)$ と同型であることが、頂点作用素構造と古典的極限の一致により示された。
• 量子 VOA $\tilde{V}_q(\mathfrak{sl}_N,K,R)$ の古典的極限は、標準的なアフィン VOA $V(\mathfrak{sl}_N,K)$ であり、$K$ が無理数のとき非退化であるため、量子変形の一意性が保証される。
• 擬古典的構造 $s = \frac{d\mathcal{S}}{dh}\big|_{h=0}$ は、古典的ヤン・バクスター方程式のユニタリ解であり、$V^0$ の擬微分作用素のリー代数 $\text{PDer}(V^0)$ に値をとる。
• 任意の有理的 $r$-行列に対して、アフィン VOA 上に擬古典的構造を構成でき、この構造は $RTT$-ベースの量子化により量子 VOA に上昇する。
• 量子 VOA の Sugawara 演算子 $D$ は $D = -\frac{1}{K+N}\ln Q$ で与えられ、ここで $Q$ は [EK4] に現れる量子 Sugawara 要素である。これは既知の量子 Sugawara 構成と整合的であることを確認した。