[論文レビュー] Quantization of moduli spaces of flat connections and Liouville theory

J. Teschner|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 35被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、リーマン面上の平坦なPSL(2,R)-接続のモジュライ空間の量子化とリウヴィル conformal field theory (CFT)との間の深い関係を確立する。クラスター代数構造と等モノドロミー変形理論を用いて、リウヴィル理論における conformal block が量子ティーチミュラー理論の解として現れることを示し、モジュライ空間上の量子トレース関数がバーリンスコ・代数表現を実現することを示している。主な結果は、等モノドロミーのτ関数とリウヴィルの分配関数との正確な対応関係であり、この文脈におけるAGT対応の数学的実現を提供する。

ABSTRACT

We review known results on the relations between conformal field theory, the quantization of moduli spaces of flat PSL(2,R)-connections on Riemann surfaces, and the quantum Teichmueller theory.

研究の動機と目的

• 量子ティーチミュラー理論、平坦なPSL(2,R)-接続のモジュライ空間、および conformal field theory の間の数学的関係を明確化すること。
• 等モノドロミーのτ関数とリウヴィルの conformal block の間の正確な対応関係を確立すること。
• ティーチミュラー空間の量子化がバーリンスコ・代数の表現理論を通じて実現されることを示すこと。
• 非コンパクトなリーマン面および双曲幾何の文脈におけるAGT対応を理解するための幾何的・代数的枠組みを提供すること。

提案手法

• シェア座標と三角形分割を用いて、平坦なPSL(2,R)-接続のモジュライ空間をパラメトライズし、クラスター代数構造を導入する。
• 古典的シンプレクティック構造を、双対グラフの双対辺の交差指数から得られる係数n_{e,e'}を用いた、{X_e, X_e'} = n_{e,e'} X_e' X_e というポisson括弧で定義する。
• スケイン代数の生成子として量子トレース関数L_γを構成し、滑らか化操作によるスケイン関係L_γ1 L_γ2 = L_{S(γ1,γ2)} を満たす。
• トレース関数が conformal block 上でのバーリンスコ・生成子の作用を実現することを示すことにより、量子ティーチミュラー空間とバーリンスコ・代数を関連付ける。
• BPZ方程式と等モノドロミー変形理論を用いて、リウヴィルの分配関数と等モノドロミーのτ関数との間の関係を導出する。
• モノドロミー作用から生じる差分作用素を対角化するために一般化されたフーリエ変換を適用し、conformal block の明示的計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦なPSL(2,R)-接続のモジュライ空間の量子化は、リーマン面上の conformal field theory とどのように関係するか？
• RQ2 量子ティーチミュラー理論とリウヴィル理論の文脈において、AGT対応の正確な数学的実現は何か？
• RQ3 等モノドロミーのτ関数はリウヴィルの分配関数と同一視可能か？もしそうなら、どのような条件下で可能か？
• RQ4 モジュライ空間上のトレース関数L_γは、量子設定においてバーリンスコ・代数の作用をどのように実現するか？
• RQ5 クラスター代数構造は、古典的および量子ティーチミュラー理論と conformal field theory をどのように結びつけるか？

主な発見

• 等モノドロミーのτ関数τ(λ, κ; q) は、リウヴィルのチャーラル分配関数Zσ(λ + m, q) の格子状態の和に正確に一致し、可積分系とCFTとの間の明確なリンクを確立する。
• 量子トレース関数L_γはスケイン関係を満たし、量子ティーチミュラー設定におけるバーリンスコ・代数の背後にある代数的構造の実現を提供する。
• リウヴィルの conformal block におけるBPZ方程式が、量子等モノドロミー変形問題を記述しており、Schlesinger系への接続が確認されている。
• 分配関数Z(β, g) = ⟨V2, Π_β(g)V1⟩ は、二重コセットAn2\An/An1 上の関数であり、これはティーチミュラー空間T(C)の開部分集合と同一視され、conformal block の幾何的解釈を示唆する。
• 関数Z(β, g) は、Whittaker関数や球面関数の類似物であることが示され、退化状態から真のWhittakerベクトルをバーリンスコ・代数において構成可能である可能性がある。
• 量子ティーチミュラー空間とリウヴィルCFTとの間の対応は、「量子化は還元を可換にする」現象の解釈として捉えられ、T^*Diff+(S^1) の量子化がCFTを生み出し、V1とV2の状態の不変性から有限次元ティーチミュラー空間への還元が生じる。