[論文レビュー] Quantization of Non-Hamiltonian Systems

Vasily E. Tarasov|ArXiv.org|Aug 28, 2001

Quantum Mechanics and Applications参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非ハミルトニアン的で散逸的であるような古典的力学的演算子を、密度行列に作用する量子スーパーフェルミオンに写像する一般化されたウェイリーグァンタライゼーション枠組み——「動的量子化」と呼ばれる——を導入する。標準的ウェイリーグァンタライゼーションを関数空間上の演算子へ拡張することで、減衰調和振動子やフォッカー＝プランク型の力学系を一貫して量子化でき、既知の量子マスター方程式が特殊ケースとして回復される。

ABSTRACT

In this paper a generalization of Weyl quantization which maps a dynamical operator in a function space to a dynamical superoperator in an operator space is suggested. Quantization of dynamical operator, which cannot be represented as Poisson bracket with some function, is considered. The usual Weyl quantization of observables can be derived as a specific case of suggested quantization if dynamical operator is an operator of multiplication on a function. This approach allows to define consistent Weyl quantization of non-Hamiltonian and dissipative systems. Examples of the harmonic oscillator with friction and a system which evolves by Fokker-Planck-type equation are considered.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン関数とのポisson括弧で表せない古典的非ハミルトニアン系の、一貫した量子化手順の開発。
• 標準的ウェイリーグァンタライゼーションを関数から関数空間上に作用する力学的演算子へ一般化すること。
• 古典的力学的演算子（例：リウヴィル演算子）を、ハイゼンベルク図とシュレーディンガー図の両方における時間発展を生成する量子スーパーフェルミオンに写像すること。
• 量子フォッカー＝プランク方程式などの既知の量子マスター方程式が、提案された形式の特殊ケースとして回復されること。
• 演算子に基づくウェイリーグァンタライゼーションを用いて、保存的および散逸的系を統一的に量子化する枠組みの確立。

提案手法

• 関数空間上の線形微分または擬微分演算子から、演算子空間上のスーパーフェルミオンへの写像を定義することで、ウェイリーグァンタライゼーションを一般化する。
• ウェイリーサンボル形式を用い、古典的力学的演算子 L(q,p,∂q,∂p) を位相空間変数で表現し、その後、演算子順序付け則を用いて量子化する。
• 主要な式 (33) は、一般の力学的演算子 L を、Weyl順序付けされた指数基底を用いたスーパーフェルミオン L̂ としての量子化を定義する。
• このアプローチでは、力学的演算子を位相空間上の関数とみなして、そのシンボルに標準的ウェイリーグァンタライゼーションを適用し、逆フーリエ変換（式 5）によりスーパーフェルミオンを導出する。
• ハミルトニアン関数に依存しない非ハミルトニアン系では、時間発展演算子の生成子を直接量子化することで、ハミルトニアン関数への依存を回避する。
• 力学的演算子が関数による乗算である場合、この形式は標準的ウェイリーグァンタライゼーションに還元され、従来の量子化と一貫性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアン関数によって生成されない力学系を、どのように一貫して量子化できるか？
• RQ2 観測量だけでなく、力学的演算子（例えば、時間発展の生成子）を量子スーパーフェルミオンに写像するウェイリーグァンタライゼーションの適切な一般化は何か？
• RQ3 非ハミルトニアンのリウヴィル方程式に従う減衰調和振動子は、この一般化された枠組みを用いて一貫して量子化可能か？
• RQ4 提案された量子化法は、量子領域において既知の量子マスター方程式（例：フォッカー＝プランク方程式）を回復するか？
• RQ5 2階のフォッカー＝プランク型リウヴィル演算子に対応する量子力学的ダイナミクススーパーフェルミオンの構造は何か？

主な発見

• 一般化されたウェイリーグァンタライゼーションにより、減衰調和振動子の古典的力学的演算子が、摩擦項を含む一般化されたハイゼンベルク方程式を与える量子スーパーフェルミオンに一貫して写像された。
• 得られた量子ダイナミクスには、非エルミート的で、[p, [q, A]]_+ に比例する減衰項が含まれており、既知のオープン量子系モデルと整合的である。
• フォッカー＝プランク型系では、量子的マーカイアンマスター方程式に一致する拡散項と摩擦項を有する量子化スーパーフェルミオンが再現され、量子光学およびオープン系からの既知の結果と一致する。
• 力学的演算子が関数による乗算である場合、形式は標準的ウェイリーグァンタライゼーションに還元され、一貫性が確認された。
• フォッカー＝プランク系に対応する導出されたスーパーフェルミオンには、位置および運動量演算子との二重交換子を含む項が含まれており、量子的拡散および散逸を反映している。
• この方法により、ハミルトニアン構造を持たない場合でも、生成子をシンボルとみなしてWeyl順序付けを施すことにより、任意の古典的力学的半群生成子を体系的に量子化できる。