[論文レビュー] Quantization of open-closed BCOV theory, I

Kevin Costello, Si Li|arXiv (Cornell University)|May 25, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 13被引用数 35

ひとこと要約

本稿は、奇数次元の平坦空間 $\mathbb{C}^d$ 上における、開-閉 BCOV理論の摂動的量子化の存在および一意性を確立する。この理論は、Kodaira-Spencer重力（BCOV）と超群 $GL(N|N)$ 上の正則チャーン=サイモンズ理論を結合したものであり、開・閉の両セクター間の異常キャンセレーションによって、自然に量子化が固定される。これにより、奇数次元 $d$ に対して $\mathbb{C}^d$ 上に一意な量子 BCOV理論が得られ、無限大の補正項の不確かさが解消される。この結果は、障害理論と、結合系におけるグリーン＝シュヴァルツ型の異常キャンセレーション機構に依拠している。

ABSTRACT

This is the first in a series of papers which analyze the problem of quantizing the theory coupling Kodaira-Spencer gravity (or BCOV theory) on Calabi-Yau manifolds using the formalism for perturbative QFT developed by the first author. In this paper, we focus on flat space $\mathbb{C}^d$ for $d$ odd. We prove that there exists a unique quantization of the theory coupling BCOV theory and holomorphic Chern-Simons theory with gauge group the supergroup $GL(N \mid N)$. We deduce a canonically defined quantization of BCOV theory on its own. We also discuss some conjectural links between BCOV theory in various dimensions and twists of physical theories: in complex dimension $3$ we conjecture a relationship to twists of $(1,0)$ supersymmetric theories and in complex dimension $5$ to a twist of type IIB supergravity.

研究の動機と目的

• 非可重整化で相互作用的な6次元 BCOV理論がカルラヤーマニフォールド上で摂動的に量子化できるかという長年の問題を解決すること。
• BCOV理論における無限大の補正項の不確かさが、$GL(N|N)$ 上の正則チャーン=サイモンズ理論と結合させることで一意に固定されることを示すこと。
• 奇数次元 $d$ に対して、開-閉結合系を介して $\mathbb{C}^d$ 上の BCOV理論に自然な量子化を確立すること。
• 結合系の障害-変形複体のコホモロジーが1ループを超えて自明であることを示し、異常キャンセレーションが保証されること。
• 複素次元3および5における BCOV理論と、$(1,0)$ スーパーシンメトリー理論およびタイプIIB超重力のねじれ（twist）との間の予想的な関係を探索すること。

提案手法

• コステロが開発した摂動的量子場理論の形式を用い、障害-変形コホモロジー複体の観点から量子化を分析する。
• Cos11 に示された障害理論を適用し、結合系のコホモロジー群 $H^0$（変形）および $H^1$（異常）を計算する。
• BCOV重力を $\mathfrak{gl}(N|N)$ のゲージ超代数を用いた正則チャーン=サイモンズ理論と結合させることで、結合系の開-閉 BCOV理論を構成する。これにより、包含写像 $\mathfrak{gl}(N|N) \hookrightarrow \mathfrak{gl}(N+k|N+k)$ における整合性が保証される。
• グリーン＝シュヴァルツ機構に類似た一ループ異常キャンセレーションの詳細な計算を実施し、正則チャーン=サイモンズ理論の異常が閉弦セクターによってキャンセルされることを示す。
• ジャンルバンドルおよび $D$-加群技法を用いて、障害-変形複体の構造を分析し、特に $\operatorname{Sym}^k(J\mathscr{E})^\vee$ と $\Omega^{3,3}$、$\Omega^{3,0}_{\text{hol}}$ の導来テンソル積に注目する。
• $\mathbb{C}^3$ 上での $SU(3)$ 不変性とスケーリング重み制約を用い、立方相互作用を一意に固定し、コホモロジーにおいて高次相互作用（$k > 3$）が消えることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可重整化かつ無限大の補正項の不確かさを有する BCOV理論について、奇数次元 $\mathbb{C}^d$ 上に自然な摂動的量子化を構成できるか？
• RQ2 正則チャーン=サイモンズ理論の一ループ異常は、閉弦セクターと結合させることでキャンセル可能か？その条件は何か？
• RQ3 奇数次元 $\mathbb{C}^d$ 上の結合開-閉 BCOV理論は、すべての $N$ に対して $\mathfrak{gl}(N|N)$ の包含関係を満たす一意な量子化を許容するか？
• RQ4 $GL(N|N)$ のゲージ群が、異常キャンセレーションと量子理論の一意性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 結合系の障害-変形複体のコホモロジー群は、1ループを超えて障害が存在しないことをどのように反映しているか？

主な発見

• 奇数次元 $d$ に対して、ゲージ超代数 $\mathfrak{gl}(N|N)$ を持つ開-閉 BCOV理論の、一意な摂動的量子化が存在する。これは、包含関係 $\mathfrak{gl}(N|N) \hookrightarrow \mathfrak{gl}(N+k|N+k)$ と整合する。
• 結合系の障害-変形複体のコホモロジーは1ループを超えて自明であり、潜在的な異常や変形が完全にキャンセルされていることを示している。
• $\mathbb{C}^3$ の場合、$SU(3)$ 不変性とスケーリング重みによる制約により、古典的相互作用はスケールを除き一意に固定され、高次相互作用（$k > 3$）はコホモロジーにおいて消える。
• 正則チャーン=サイモンズ理論の一ループ異常は、閉弦セクターによってキャンセルされ、結合系は異常フリーとなり、一貫した量子化が可能になる。
• $\mathbb{C}^d$（$d$ が奇数）上に、$GL(N|N)$ 正則チャーン=サイモンズ理論との結合によって、自然な量子 BCOV理論が得られる。すべての補正項は、結合により一意に決定される。
• 複素次元3の場合、$\mathfrak{sl}(N|N)$ ゲージ代数を用いた変種は、修正された BCOV理論（$(1,0)$ BCOV理論）を必要とし、その量子化も一意に固定される。