[論文レビュー] Quantization of Poisson algebras associated to Lie algebroids

N.P. Landsman, Birant Ramazan|ArXiv.org|Jan 4, 2000

Advanced Topics in Algebra被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、可積分なリー代数ダルの双対における標準的ポアソン構造に対する厳密な変形量子化の存在を確立し、Lie群ガロイドのC*-代数が自然に量子化結果として現れることを示している。この構成は接続群ガロイドと連続的フィールドのC*-代数に依拠しており、プランク定数スケールのパrameter値において、各ファイバーが古典的および量子的代数に同型である。

ABSTRACT

We prove the existence of a strict deformation quantization for the canonical Poisson structure on the dual of an integrable Lie algebroid. It follows that any Lie groupoid C*-algebra may be regarded as a result of a quantization procedure. The C*-algebra of the tangent groupoid of a given Lie groupoid G (with Lie algebra g) is the C*-algebra of a continuous field of C*-algebras over R with fibers A_0=C*(g)=C_0(g*) and A_h=C*(G) for nonzero h. The same is true for the corresponding reduced C*-algebras. Our results have applications to, e.g., transformation group C*-algebras, K-theory, and index theory.

研究の動機と目的

• 可積分なリー代数ダルに関連するポアソン代数に対する厳密な量子化手順を確立すること。
• Lie群ガロイドのC*-代数が厳密な変形量子化の結果として生じることを示すこと。
• Weyl量子化およびMoyal積構造を、Lie群ガロイドおよびその接続群ガロイドの設定へ一般化すること。
• 連続的フィールドのC*-代数を介して、変形量子化をインデックス理論およびK理論と結びつけること。
• 幾何的量子化のアイデアを、非シンプレクティックなポアソン多様体へ、リー代数ダル構造を用いて拡張すること。

提案手法

• Lie群ガロイドGの接続群ガロイドを構成し、ℝ上の連続的フィールドのC*-代数として、ℏ=0におけるファイバーC*(A(G))とℏ≠0におけるファイバーC*(G)を有する。
• Lie群ガロイドに基づくWeyl量子化写像を用いて、C₀(A*(G))のポアソン代数に厳密な変形量子化を適用する。
• ベクトルバンドル上のフーリエ変換と局所的群ガロイド構造を用いて、量子化写像を定義する。
• 変形を1パラメータ族の代数として実現するために、連続的フィールドのC*-代数の概念を用いる。
• 与えられたリー代数ダルを全球的に統合するLie群ガロイドの存在に依拠することで、構成が適切に定義されることを保証する。
• 接続群ガロイド構成を用いて、Rieffelの厳密量子化フレームワークを非アーベル的かつ非シンプレクティックな設定へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可積分なリー代数ダルの双対における標準的ポアソン構造に対して、厳密な変形量子化を構成可能か？
• RQ2 Lie群ガロイドのC*-代数は、この量子化枠組みにおいてどのように量子的双対として現れるか？
• RQ3 接続群ガロイドは、古典的および量子的観測量を結ぶ連続的フィールドのC*-代数を実現するために果たす役割は何か？
• RQ4 任意のLie群ガロイドに対して、この量子化枠組みを用いてAtiyah–Singerインデックス定理を一般化可能か？
• RQ5 局所的群ガロイド構成を用いて、非可積分なリー代数ダルへこの量子化を拡張可能か？

主な発見

• 可積分なリー代数ダルの双対における標準的ポアソン構造に対して、厳密な変形量子化が存在する。
• Lie群ガロイドGのC*-代数はℏ≠0における量子代数として実現され、ℏ=0では古典的代数C₀(A*(G))が現れる。
• 接続群ガロイド構成により、ℝ上の連続的フィールドのC*-代数が得られ、ℏ=0およびℏ≠0におけるファイバーがそれぞれC₀(A*(G))およびC*(G)に同型である。
• M=ℝⁿに平坦な計量をとると、量子化はMoyal積を再現し、標準的変形量子化と整合性を確認する。
• 量子化写像はディラックの条件を満たす：すべてのf,g∈ポアソン代数に対して、(iℏ)⁻¹[Q(f), Q(g)] = Q({f,g})が成り立つ。
• この枠組みにより、任意のLie群ガロイドへインデックス理論を一般化する道筋が得られ、インデックスはK₀(C*(G))の値をとる。