[論文レビュー] Quantization of Poisson families and of twisted Poisson structures

Pavol Ševera|ArXiv.org|May 28, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、閉3形式 $\phi$ の周期が $2\pi i\mathbb{Z}$ に属する条件下で、多様体 $M$ 上のねじれポアソン構造（または $\phi$-ポアソン構造）の変形量子化として、代数のスタックを構成する。コンツェビッチの形式性定理と、Maurer–Cartan型方程式に従う「タイトな族」と呼ばれるアソシエイティブ代数の枠組みを用いて、著者らはこのような量子化が自然に、コhomology類 $\Phi \in H^3(M, 2\pi i\mathbb{Z})$ と、正確なコウランテ・アレブロイド内のディラック構造によってパrameter化されることを示し、これはgerbeの概念を一般化するスタックをもたらす。

ABSTRACT

We describe a deformation quantization of a modification of Poisson geometry by a closed 3-form. Under suitable conditions it gives rise to a stack of algebras. The basic object used for this aim is a kind of families of Poisson structures given by a Maurer-Cartan equation; they are easily quantized using Kontsevich's Formality theorem.

研究の動機と目的

• ねじれポアソン構造の変形量子化フレームワークを構築すること。ここでポアソンの反対称テンソル $\pi$ は形式的に $\hbar$ に依存し、$[\pi,\pi] = 2\wedge^3 \tilde{\pi}(\phi)$ を満たす。ここで $\phi$ は閉3形式である。
• $\phi$ の周期が $2\pi i\mathbb{Z}$ に属する場合にまで量子化を拡張し、$M$ 上に代数のスタックをグローバルに構成すること。
• 局所的には、$\hbar$-依存する微分同相によって $\pi$ が通常のポアソン構造と同値であるというアイデアを形式化し、その同値関係を「タイトな族」構造によって追跡すること。
• 得られる量子化が局所的選択に依存せず、適切に定義されたスタックをなしており、$\Phi \in H^3(M, 2\pi i\mathbb{Z})$ に付随するgerbeの概念を一般化することを示すこと。

提案手法

• 多様体 $B$ 上の「$\chi$-タイトな代数族」という概念を導入する。ここで $\chi$ は $B$ 上の閉3形式であり、この族は空間 $\Gamma(\bigwedge T^*B) \otimes C^\bullet(\mathcal{A}, \mathcal{A})$ 内の全次数2のMaurer–Cartan型方程式に従う。
• 分解 $\gamma = \gamma_0 + \gamma_1 + \gamma_2$ を用いて、族のアソシエイティブ代数（$\gamma_0$）、平坦接続（$\gamma_1$）、およびループに沿った内部自己同型を制御する曲率データ（$\gamma_2$）を符号化する。
• この枠組みを代数 $\mathcal{A} = C^\infty(M)[[\hbar]]$ と多様体の多微分作用素の空間 $\mathrm{PDiff}(M)[[\hbar]]$ に適用し、形式的変形量子化をモデル化する「$*$-積のタイトな族」を構成する。
• この $\chi$-タイトな族を、$\Phi \in H^3(M, 2\pi i\mathbb{Z})$ に付随するgerbeの変形として実現することで、代数のスタックを構成する。ここで、正確なコウランテ・アレブロイドの特性類は、$\Phi$ を $H^3(M, \mathbb{C})$ に写像する。
• コンツェビッチの形式性定理を用いて、タイトな $*$-積族の量子化を実行し、ポアソン構造の $\hbar$-変形の存在を保証する。
• 2形式 $\beta$ による外的変換と1形式 $\alpha$ による内的変換を導入し、異なるタイトな族を関連づけ、構成のゲージ不変性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉3形式 $\phi$ の周期が $2\pi i\mathbb{Z}$ に属する場合に、多様体 $M$ 上の $\phi$-ポアソン構造をどのようにグローバルに量子化できるか。
• RQ2 $\hbar$-依存する微分同相によって局所的な $\phi$-ポアソン構造の量子化が同値であるとき、それを制御する構造は何か。
• RQ3 得られる量子化を、単なる形式的スター積ではなく、スタックのようなグローバルな代数的対象にどのようにまとめられるか。
• RQ4 コhomology類 $\Phi \in H^3(M, 2\pi i\mathbb{Z})$ が、このような量子化を分類する際に果たす役割は何か。
• RQ5 正確なコウランテ・アレブロイド内のディラック構造の量子化を、自然に代数のスタックとして実現できるか。

主な発見

• 本稿では、$\phi$ の周期が $2\pi i\mathbb{Z}$ に属する場合に、多様体 $M$ 上に代数のスタックを構成し、$\Phi \in H^3(M, 2\pi i\mathbb{Z})$ に付随するgerbeの概念を一般化する。
• スタックは「タイトな $*$-積族」から生じる。これは、3形式 $\phi$ と多微分作用素の代数に依存するMaurer–Cartan方程式の形式的解である。
• この構成は外的および内的変換に対して不変である。外的変換（$\beta \in \Omega^2(B)$）はホロノミー $a_{D,x}$ を $\exp(\int_D \beta)$ で乗算する。内的変換は、タイトな族の空間へのリー代数作用から生じる。
• 任意の閉曲線 $\gamma$ に対して、$\gamma$ を境界とするディスク $D$ に付随するホロノミー $a_{D,x}$ は、$\exp(\int_D \gamma_2)$ で与えられる内部自己同型であり、ホモトピー的ディスクに沿っては $\exp(\int_{\text{homotopy}} \chi)$ だけ変化する。
• 量子化は局所的選択に依存しない。任意の2つの局所ポアソン構造は $\hbar$-依存する微分同相で関連づけられ、重なり領域で得られる $*$-積は同型である。
• 代数のスタックは、$\Phi \in H^3(M, 2\pi i\mathbb{Z})$ の選択と、$H^3(M, \mathbb{C})$ に $\Phi$ を写像する特性類を持つ正確なコウランテ・アレブロイド内のディラック構造に自然に付随する。