[論文レビュー] Quantization of soliton systems and Langlands duality

Boris Feigin, Edward Frenkel|ArXiv.org|May 17, 2007

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、KdV階層などのソリトン可積分系の量子化フレームワークを、アフィンカク・ムーディ代数に関連するガウディン模型を用いて提案する。これにより、量子ハミルトニアンのスペクトルがラングランズ双対アフィン代数上のアフィンオペルに結びつけられる。主な結果は、量子KdVハミルトニアンのスペクトルが、スペクトルパラメータをもつシュレーディンガー作用素のスペクトルと一致することであり、バジャノフ、ルカヤノフ、サモロイチェフの予想がラングランズ双対性の特別な場合として確認されることを示している。

ABSTRACT

We consider the problem of quantization of classical soliton integrable systems, such as the KdV hierarchy, in the framework of a general formalism of Gaudin models associated to affine Kac--Moody algebras. Our experience with the Gaudin models associated to finite-dimensional simple Lie algebras suggests that the common eigenvalues of the mutually commuting quantum Hamiltonians in a model associated to an affine algebra should be encoded by affine opers associated to the Langlands dual affine algebra. This leads us to some concrete predictions for the spectra of the quantum Hamiltonians of the soliton systems. In particular, for the KdV system the corresponding affine opers may be expressed as Schroedinger operators with spectral parameter, and our predictions in this case match those recently made by Bazhanov, Lukyanov and Zamolodchikov. This suggests that this and other recently found examples of the correspondence between quantum integrals of motion and differential operators may be viewed as special cases of the Langlands duality.

研究の動機と目的

• 有限次元リー代数からのガウディン模型形式主義をアフィンカク・ムーディ代数へ拡張し、ソリトン系を量子化すること。
• ソリトン系における量子ハミルトニアンのスペクトルとラングランズ双対アフィン代数上のアフィンオペルとの間の対応を確立すること。
• バジャノフ、ルカヤノフ、サモロイチェフが提起した予想が、量子KdVハミルトニアンのスペクトルがスペクトルパラメータをもつシュレーディンガー作用素のスペクトルと一致することを確認すること。
• 最近の量子積分の運動量から微分作用素への対応関係を、ラングランズ双対性の特別な場合として位置づけること。

提案手法

• アフィンカク・ムーディ代数に関連するガウディン模型としてソリトン系をモデル化し、有限次元ガウディン枠組みを一般化する。
• このようなモデルにおける量子ハミルトニアンのスペクトルが、ラングランズ双対アフィン代数 $^{L}\widehat{{\mathfrak{g}}}$ 上のアフィンオペルに符号化されることを提唱する。
• アフィン代数 $\widehat{{\mathfrak{g}}}$ の臨界レベルにおける完備包あらゆる代数の中心と、$^{L}{\mathfrak{g}}$-オペルの間の既知の同型を用いる。
• この対応関係を二重アフィン代数 $\widehat{\widehat{{\mathfrak{g}}}}$ へ拡張し、その中心が $^{L}\widehat{{\mathfrak{g}}}$-オペルと関係することを予想する。
• 作用素積展開技術とボソン的代数形式を用いて、ガウディン模型における量子ハミルトニアンの可換性を検証する。
• KdV階層に対してこの予想を検証し、得られるオペルがスペクトルパラメータをもつシュレーディンガー作用素に還元されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 KdV階層のような古典的ソリトン可積分系を、アフィンカク・ムーディ代数に付随するガウディン模型枠組み内でどのように量子化できるか。
• RQ2 このような系における量子ハミルトニアンのスペクトルと微分作用素（オペル）との間の明確な対応関係は何か。
• RQ3 量子KdVハミルトニアンのスペクトルとスペクトルパラメータをもつシュレーディンガー作用素のスペクトルとの一致は、ラングランズ双対性の結果として理解できるか。
• RQ4 二重アフィン代数 $\widehat{\widehat{{\mathfrak{g}}}}$ の完備包あらゆる代数の中心は、量子スペクトルを符号化するために果たす役割は何か。
• RQ5 ラングランズ双対アフィン代数 $^{L}\widehat{{\mathfrak{g}}}$ は、ソリトン系における量子積分の運動量の構造をどのように支配するか。

主な発見

• ソリトン系における量子ハミルトニアンのスペクトルは、ラングランズ双対アフィン代数 $^{L}\widehat{{\mathfrak{g}}}$ 上のアフィンオペルに符号化されており、有限次元ガウディン模型対応の一般化である。
• KdV階層に対しては、対応するアフィンオペルがスペクトルパラメータをもつシュレーディンガー作用素と等価であることが示され、バジャノフ、ルカヤノフ、サモロイチェフの予想が確認された。
• 一般化されたKdVおよびAKNS階層の量子ハミルトニアンは、バーバロス代数および関連アフィン代数の完備包あらゆる代数内の可換作用素として構成される。
• 量子ハミルトニアンの可換性は、作用素積展開技術およびボソン的代数形式を用いて確立され、特にセガール＝スガワラカレントを含む可換子が消えることを確認することで裏付けられる。
• 完備包あらゆる代数の $\widehat{\widehat{{\mathfrak{g}}}}$ の中心は、$^{L}\widehat{{\mathfrak{g}}}$-オペルの代数と同型であると予想され、既知の有限次元結果が拡張されている。
• この枠組みは、最近の量子積分の運動量から微分作用素への対応関係を、ラングランズ双対性の特別な場合として統合する。