[論文レビュー] Quantized Berry Phase and Surface States under Reflection Symmetry or Space-Time Inversion Symmetry

Ching‐Kai Chiu, Yang‐Hao Chan+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2018

Topological Materials and Phenomena被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、反射または時空反転対称性の下で量子化されたベリー位相がノードル・ラインを保護することを確立しているが、安定した表面状態は、終端が反射／反転中心に位置する場合にのみ出現する。細胞周期的ゲージと対称性に配慮したゲージ選択を用いて、著者らはπベリー位相は表面状態に必要であるが十分ではないことを示しており、その存在は結晶の終端位置に強く依存しており、先行研究におけるノードル・ライン半金属の表面状態予測の矛盾を解消している。

ABSTRACT

As reflection symmetry or space-time inversion symmetry is preserved, with a non-contractible integral loop respecting the symmetry in the Brilliouin zone, Berry phase is quantized in proper basis. Topological nodal lines can be enclosed in the integral loop and $π$-Berry phase topologically protects the nodal lines. In this work, we show that to have quantized Berry phase restricted by the symmetry in any crystal structure, we choose to use the cell-periodic convention and define the origin point in the real space at one of the reflection (inversion) centers. In addition, $π$-Berry phase is not the sufficient condition leading to the presence of the stable surface states. Their presence crucially depends on the location of the termination and the crystal structure in the unit cell. By using these new conditions we further reexamine if stable surface states exist in the known topological nodal line materials stemming from reflection symmetry or space-time inversion symmetry.

研究の動機と目的

• 反射または時空反転対称性によって保護されるトポロジカルノードル・ライン材料において、安定した表面状態が出現する条件を明確化すること。
• πベリー位相と実際の表面状態の存在との間に生じる矛盾を解消すること—これは終端位置に依存する。
• 反射／反転中心に原点を置いた細胞周期的表記を用いたゲージ不変なフレームワークを確立し、正しく量子化されたベリー位相を計算すること。
• πベリー位相が単独では表面状態を保証しないこと—その存在は結晶構造および終端点に敏感であることを示すこと。

提案手法

• 反射または反転中心に原点を設定した細胞周期的ゲージ表記を採用し、対称性操作下でのベリー位相の適切な量子化を保証する。
• ユニタリ変換を用いてハミルトニアンを単位細胞表記から細胞周期的表記に変換し、一貫したベリー位相計算を可能にする。
• 可変なサブラティスポテンシャルVを持つ4原子モデルに対して、バーデルト＝キング＝スミス法を用いて数値的にベリー位相を計算する。
• 対称性制約を適用：反射に対してはR⁻¹H(−k)R = H(k)、時空反転に対しては(PT)H(k)(PT)⁻¹ = H(k)を満たすようにし、対称性を保存するハミルトニアンを保証する。
• 反射中心の内外で異なる終端点を持つ有限鎖におけるエンド状態の存在を分析する。
• 異なるゲージ選択と終端位置の組み合わせを比較し、対称性中心が表面状態を安定化させる役割を明確に分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反射または時空反転対称性が存在する中で、ベリー位相がどのように量子化されるか。
• RQ2 なぜπベリー位相であっても、ノードル・ライン半金属では常に安定した表面状態が出現しないのか。
• RQ3 結晶の終端位置が、反射または時空反転対称性によって保護される表面状態の存在にどのように影響するか。
• RQ4 空間対称性下での表面状態予測の不一致を、細胞周期的ゲージ表記が解消できるか。
• RQ5 空間対称性下でのトポロジカル不変量を計算する際、実空間における原点の選択は果たす役割は何か。

主な発見

• 細胞周期的ゲージにおいて、原点が反射または反転中心に設定されている場合に限り、ベリー位相はπまたは0に量子化され、対称性保護が適切に保証される。
• πベリー位相は表面状態に必要であるが十分ではない。その存在は、終端点が対称性中心にあるかどうかに強く依存する。
• 反射中心で終端する場合、4原子モデルにおいて|V| < 0.3の範囲でエネルギーギャップ内に安定したエンド状態が出現し、πベリー位相と整合的である。
• 反射中心でない場所で終端する場合、πベリー位相があるにもかかわらず表面状態は消滅し、π位相が単独で保護機構として機能しないことを示している。
• モデルは、対称性が破れる場合、ノードルリングの内部および外部の両方でドアーヘッド表面状態が存在しなくなることを示しており、量子化されたベリー位相があるにもかかわらずである。
• PT² = 1を満たす時空反転対称性の下では、ユニットセル表記においてベリー位相は未量子化のままであり、バルク状態が拡張していることと局在化した境界モードが存在しないため、エンド状態は出現しない。