[論文レビュー] Quantized Compressed Sensing for Partial Random Circulant Matrices

Joe-Mei Feng, Felix Krahmer+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2017

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 37被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、部分的ランダム巡回行列を用いた圧縮センシングにおける量子化フレームワークを提示する。安定なシグマデルタ量子化と凸最適化を採用し、測定回数の増加に伴い量子化による再構成誤差が多項式的に減少することを確立している。これにより、メモリレスなスカラ量子化に比べ、より優れたロバスト性と安定性が得られる。

ABSTRACT

We provide the first analysis of a non-trivial quantization scheme for compressed sensing measurements arising from structured measurements. Specifically, our analysis studies compressed sensing matrices consisting of rows selected at random, without replacement, from a circulant matrix generated by a random subgaussian vector. We quantize the measurements using stable, possibly one-bit, Sigma-Delta schemes, and use a reconstruction method based on convex optimization. We show that the part of the reconstruction error due to quantization decays polynomially in the number of measurements. This is in line with analogous results on Sigma-Delta quantization associated with random Gaussian or subgaussian matrices, and significantly better than results associated with the widely assumed memoryless scalar quantization. Moreover, we prove that our approach is stable and robust; i.e., the reconstruction error degrades gracefully in the presence of non-quantization noise and when the underlying signal is not strictly sparse. The analysis relies on results concerning subgaussian chaos processes as well as a variation of McDiarmid's inequality.

研究の動機と目的

• 構造化された圧縮センシング行列、特に部分的ランダム巡回行列に対する非自明な量子化理論の構築を目的とする。
• 特にi.i.d.サブガウス型行列を超えた構造化測定設定における量子化の理論的分析の不足に応えることを目的とする。
• 安定的で、場合によっては1ビットのシグマデルタ量子化が再構成誤差に多項式的減少をもたらすことを示すことを目的とする。
• 非量子化ノイズや厳密なスパース性からの逸脱に対しても再構成のロバスト性と安定性を証明することを目的とする。
• 既存の圧縮センシングの保証を、量子化に配慮した解析を伴う構造化行列へと拡張することを目的とする。

提案手法

• サブガウス型ベクトルから生成された巡回行列の行を、置き換えなしにサブサンプリングすることで部分的ランダム巡回行列を構成する。
• 圧縮センシングの測定値に、安定的で、場合によっては1ビットのシグマデルタ量子化を適用する。
• 測定値の一貫性を制約条件に含めた基底 pursuit を用いた凸最適化に基づく再構成を採用する。
• r次順序差分作用素の左特異ベクトルと測定行列の積に対して、制限的等長性性質（restricted isometry property）を確立する。
• サブガウス型の混沌過程理論とMcDiarmidの不等式の変種を用いて、量子化誤差の逸脱をバインドする。
• 先行研究とは異なり、証明において置き換えなしのサブサンプリング構造を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定的で、場合によっては1ビットのシグマデルタ量子化は、部分的ランダム巡回行列において再構成誤差に多項式的減少をもたらすか？
• RQ2 非量子化ノイズが存在する場合や、信号が厳密にスパースではない場合、再構成誤差はどのように振る舞うか？
• RQ3 構造化測定行列（部分的ランダム巡回行列）は、i.i.d.サブガウス型行列と比較して、量子化誤差の減少率にどのような影響を与えるか？
• RQ4 巡回行列と差分作用素を含む量子化に配慮した測定システムに対して、制限的等長性性質を確立できるか？
• RQ5 部分的巡回行列における置き換えなしのサブサンプリングは、i.i.d.サンプリングに比べてより強い集中性の上限を可能にするか？

主な発見

• 量子化による再構成誤差は、測定回数の増加に伴い多項式的に減少し、i.i.d.サブガウス型行列と同等の結果を達成する。
• 非量子化ノイズに対してもロバストであり、ノイズが有界な範囲で誤差の劣化が滑らかに進行する。
• 元の信号が厳密にスパースでない場合でも、誤差が最良のsスパース近似に比例して有界なまま安定を保つ。
• 測定行列とr次順序差分作用素の左特異ベクトルの積に対して、制限的等長性性質が証明された。
• 証明技法は、置き換えなしのサブサンプリングに適合されたMcDiarmidの不等式の変種とサブガウス型混沌過程のバインドに依存する。
• 量子化測定値の差のサブガウス型ノルムに対する上限が、$ \frac{\sqrt{m}}{\ell}\|x-y\|_{\hat{\infty}} $に比例することが示され、集中制御が可能になる。