[論文レビュー] Quantized symplectic actions and W-algebras

Ivan Losev|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 24被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、再定義された簡約的代数の作用による量子化されたシンプレクティック多様体上の、有限型のW代数を不変代数として再解釈し、その構造を研究するための新しい枠組みを提供する。主な貢献は、変形量子化を用いたW代数の新規定義、およびその素イデアルと普遍包あらゆる代数の素イデアルとの対応関係であり、さらに古典的リー代数に対する有限次元表現と1次元表現に関する結果も得られている。

ABSTRACT

With a nilpotent element in a semisimple Lie algebra g one associates a finitely generated associative algebra W called a W-algebra of finite type. This algebra is obtained from the universal enveloping algebra U(g) by a certain Hamiltonian reduction. We observe that W is the invariant algebra for an action of a reductive group G with Lie algebra g on a quantized symplectic affine variety and use this observation to study W. Our results include an alternative definition of W, a relation between the sets of prime ideals of W and of the corresponding universal enveloping algebra, the existence of a one-dimensional representation of W in the case of classical g and the separation of elements of W by finite dimensional representations.

研究の動機と目的

• 変形量子化の枠組みを用いて、量子化されたシンプレクティック幾何学を活用し、W代数の新しい幾何的・表現論的枠組みを提供すること。
• W代数の素イデアルと普遍包あらゆる代数U(g)の素イデアルとの対応関係を確立すること。
• 古典的リー代数の場合におけるW代数が1次元表現をもつことを証明すること。
• W代数の元が有限次元表現によって分離可能であることを示すこと。
• 変形量子化の文脈におけるハミルトニアン還元を用いた、W代数の代替的定義を提示すること。

提案手法

• シンプレクティック多様体上での星積の構成に、変形量子化とフェドソフの方法を用いる。
• nilpotent要素eとsl2三重組(e,h,f)を用いて、普遍包あらゆる代数U(g)に対するハミルトニアン還元を適用する。
• リー代数gから量子化代数Aへの量子的コモーメント写像を導入し、古典的コモーメント写像を上昇させる。
• 再定義された群の作用を介して、量子化されたシンプレクティック多様体を構成し、W代数をこの作用の下での不変部分代数として実現する。
• 完成化手続きと分解定理を用いて、W代数のフィルター構造とその関連する次数代数との関係を明らかにする。
• 量子的コモーメント写像の核を用いてW代数を商として定義し、全射性とイデアル対応関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 W代数はどのようにして、量子化されたシンプレクティック作用の不変量として再解釈できるか？
• RQ2 W代数の素イデアルとU(g)の素イデアルとの正確な対応関係は何か？
• RQ3 古典的リー代数に付随するW代数は、1次元表現をもつか？
• RQ4 W代数の元は有限次元表現によって分離可能か？
• RQ5 カジダンフィルターは、W代数の構造を特徴づける上で果たす役割は何か？

主な発見

• W代数U(g,e)は、再定義された群の作用の下での、量子化されたシンプレクティックアフィン多様体の不変部分代数として同型である。
• カジダンフィルターに関するU(g,e)の関連次数代数は、Slodowy切断S(zg(e))の座標環と、特定の次数付き構造を備えて同型である。
• ハミルトニアン還元プロセスによって誘導される、U(g,e)の素イデアルとU(g)の素イデアルとの間の自然な対応関係が存在する。
• 古典的リー代数の場合、W代数U(g,e)は1次元表現をもつ。
• U(g,e)の有限次元表現は、その元を分離可能であり、これは代数が残留的に有限次元的であることを示唆する。
• W代数U(g,e)は、アイソトロープ部分空間yの選び方に依存しない（フィルター同型の意味で）、またh'の選び方に対しても代数同型の意味で不変である。