[論文レビュー] Quantized topological terms in weakly coupled gauge theories and their connection to symmetry protected topological phases

Ling-Yan Hung, Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2012

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、任意の時空次元およびゲージ群（連続的または離散的）において、弱い結合ゲージ理論における量子化されたトポロジカル項を体系的に構成し、それらが整数コホモロジー群 $ H^{d+1}(BG, \mathbb{Z}) $ によって分類されることを示している。ここで $ BG $ はゲージ群 $ G $ の分類空間である。主な結果として、このようなトポロジカルゲージ理論とボソン的対称性保護トポロジカル（SPT）相の間の双対性が確立され、両者とも同じコホモロジー群によって分類されることを示しており、トポロジカルオーダーおよびギャップレス相の理解を統一的かつ拡張的に示している。

ABSTRACT

We consider a weakly coupled gauge theory where charged particles all have large gaps (ie no Higgs condensation to break the gauge "symmetry") and the field strength fluctuates only weakly. We ask what kind of topological terms can be added to the Lagrangian of such a weakly coupled gauge theory. In this paper, we systematically construct quantized topological terms which are generalization of the Chern-Simons terms and $F\wedge F$ terms, in space-time dimensions $d$ and for any gauge groups (continuous or discrete), using each element of the topological cohomology classes $H^{d+1}(BG,\Z)$ on the classifying space $BG$ of the gauge group $G$. In 3$d$ or for finite gauge groups above 3$d$, the weakly coupled gauge theories are gapped. So our results on topological terms can be viewed as a systematic construction of gapped topologically ordered phases of weakly coupled gauge theories. In other cases, the weakly coupled gauge theories are gapless. So our results can be viewed as an attempt to systematically construct different gapless phases of weakly coupled gauge theories. Amazingly, the bosonic symmetry protected topological (SPT) phases with a finite on-site symmetry group $G$ are also classified by the same $H^{d+1}(BG,\Z)$. (SPT phases are gapped quantum phases with a symmetry and trivial topological order.) In this paper, we show an explicit duality relation between topological gauge theories with the quantized topological terms and the bosonic SPT phases, for any finite group $G$ and in any dimensions; a result first obtained by Levin and Gu. We also study the relation between topological lattice gauge theory and the string-net states with non-trivial topological order and no symmetry.

研究の動機と目的

• 任意のゲージ群および時空次元において、大スケールギャップを持つ弱い結合ゲージ理論における量子化されたトポロジカル項を体系的に分類すること。
• トポロジカル項がゲージ理論におけるギャップあり・ギャップなし相を区別する役割を明確にすること。
• 量子化された項を有するトポロジカルゲージ理論と、有限の局所対称性群を有するボソン的SPT相との間の双対性を確立すること。
• 同じコホモロジー的枠組みを通じて、トポロジカルオーダーとSPTオーダーの分類を統一すること。

提案手法

• ゲージ群 $ G $ の分類空間 $ BG $ における整数コホモロジー群 $ H^{d+1}(BG, \mathbb{Z}) $ の要素を用いて、量子化されたトポロジカル項を構成する。
• 3つのアプローチを適用：有限群 $ G $ に対して群コホモロジー、$ BG $ を標的空間とする非線形 $ \sigma $-モデル、奇数次元時空に対して微分形式形式論法。
• 普遍係数定理を用いて $ H^d(BG, \mathbb{R}/\mathbb{Z}) $ と $ H^{d+1}(BG, \mathbb{Z}) $ を関連付け、コホモロジーの離散的部分が量子化された項に対応することを特定する。
• 同じコホモロジー群 $ H^{d+1}(BG, \mathbb{Z}) $ が、量子化された項を有するトポロジカルゲージ理論および有限局所対称性群を有するボソン的SPT相の両方を分類することを示す。
• 格子トポロジカルゲージ理論とSPT相との間の双対写像を、双対場理論の明示的構成により確立する。
• 全局的対称性のない状況におけるスティングネット状態および非自明なトポロジカルオーダーとの関係を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の時空次元および任意のゲージ群に対して、弱い結合ゲージ理論のラグランジアンに追加可能な、完全な量子化されたトポロジカル項の集合は何か？
• RQ2 これらのトポロジカル項は、弱い結合ゲージ理論におけるギャップあり・ギャップなし相をどのように分類するか？
• RQ3 量子化された項を有するトポロジカルゲージ理論とボソン的SPT相との間の、明確な数学的・物理的双対性は何か？
• RQ4 コホモロジー群 $ H^{d+1}(BG, \mathbb{Z}) $ は、トポロジカルオーダーとSPTオーダーの分類をどのように統一するか？
• RQ5 分類空間 $ BG $ は、非線形 $ \sigma $-モデルとしてトポロジカル項を実現するためにどのように機能するか？

主な発見

• 弱い結合ゲージ理論における量子化されたトポロジカル項は、$ H^{d+1}(BG, \mathbb{Z}) $ の要素と一対一に対応し、任意のゲージ群 $ G $ および時空次元 $ d $ に対して完全な分類を提供する。
• $ d \geq 3 $ における有限ゲージ群の場合、得られる理論はギャップがあり、トポロジカルオーダーを記述するが、低次元または連続的群では理論がギャップレスである可能性がある。
• 同じコホモロジー群 $ H^{d+1}(BG, \mathbb{Z}) $ が、量子化された項を有するトポロジカルゲージ理論および有限局所対称性 $ G $ を有するボソン的SPT相の両方を分類しており、深い双対性を確立している。
• 場理論的双対性を用いた明示的構成により、リーべンとグーの結果を任意の有限群および次元に一般化した双対性が確立された。
• $ H^d(BG, \mathbb{R}/\mathbb{Z}) $ の離散的部分、すなわち $ \text{Tor}[H^{d+1}(BG, \mathbb{Z})] $ に同型な部分は、正確に量子化されたトポロジカル項に対応する。
• この手法により、ゲージ理論によるトポロジカルオーダーの分類と、対称性保護相によるSPTオーダーの分類が統一され、両者とも同じコホモロジー的構造によって支配されていることが示された。