[論文レビュー] Quantizing Time

Kim J. Bostroem|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2003

Quantum Mechanics and Applications被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、測定事象のヒルベルト空間上の自己随伴演算子として外部時間を置き換える量子理論を提案し、時間の観測可能性を一貫して扱えるようにする。標準的量子力学の結果（フェルミの黄金律やS行列）を導出し、時間エネルギー不確定性関係のパラドックスを、時間の古典的パrameterではなく内在的量子観測量として扱うことで解消する。

ABSTRACT

A quantum mechanical theory is proposed which abandons an external parameter ``time'' in favor of a self-adjoint operator on a Hilbert space whose elements represent measurement events rather than system states. The standard quantum mechanical description is obtained in the idealized case of measurements of infinitely short duration. A theory of perturbation is developped. As a sample application Fermi's Golden Rule and the S-matrix are derived. The theory also offers a solution to the controversal issue of the time-energy uncertainty relation.

研究の動機と目的

• 測定事象のヒルベルト空間上の古典的外部時間パラメータを、自己随伴演算子に置き換えることで、量子力学を再形式化すること。
• 標準的量子力学における時間エネルギー不確定性関係に関する長年の論争を解消すること。
• 新しい形式主義と整合する摂動論を構築し、量子遷移への実用的応用を可能にすること。
• フェルミの黄金律やS行列といった標準的量子力学的結果を、新しい枠組み内で回復すること。

提案手法

• 測定事象に対応する固有状態をもつヒルベルト空間に自己随伴演算子 T を導入する。
• T と可換なハミルトニアンを定義し、新しい形式主義におけるユニタリな時間発展演算子を保証する。
• 時間演算子 T のスペクトル分解とハミルトニアンとの相互作用に基づく摂動論を構築する。
• 時間演算子の固有状態と行列要素を用いて遷移率を導出し、フェルミの黄金律に至る。
• S行列を測定事象のヒルベルト空間上に作用するユニタリ演算子として定式化し、時間発展演算子の性質を演算子 T に埋め込む。
• 時間の観測量としての自己随伴演算子としての時間の扱いにより、時間エネルギー不確定性関係を解消し、標準的定式化における概念的問題を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、量子力学において時間の古典的パラメータではなく、量子観測量として一貫して扱えるのであろうか？
• RQ2 時間の自己随伴演算子がヒルベルト空間上に表現される場合、摂動論の構造はいかなるものとなるか？
• RQ3 フェルミの黄金律やS行列といった標準的量子力学的結果が、時間観測量形式から導けるのであろうか？
• RQ4 時間の演算子としての扱いがなされる枠組みにおいて、時間エネルギー不確定性関係はどのようにして出現するのであろうか？
• RQ5 時間の観測量として扱われる理論において、測定事象の物理的解釈は何か？

主な発見

• 理論はフェルミの黄金律を時間演算子形式の結果として成功裏に回復し、外部時間パラメータに依存しない量子力学的導出を可能にする。
• S行列は測定事象のヒルベルト空間上に作用するユニタリ演算子として導出され、時間発展演算子の性質が時間演算子のスペクトルに埋め込まれている。
• 時間エネルギー不確定性関係は、時間の自己随伴演算子としての扱いにより解消され、不確定性関係が観測量の性質として一貫した解釈を持つようになる。
• 測定時間の無限に短い極限において、理論は標準的量子力学に還元され、既存の結果との整合性が確認される。
• この枠組み内で構築された摂動論により、遷移振幅の体系的な計算が可能となり、形式主義の実用的妥当性が示された。