[論文レビュー] Quantum $1/f$ Noise in Equilibrium: from Planck to Ramanujan

Michel Planat|Jul 16, 2003

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、質量のない熱的ボソンの新しい量子統計的モデルを提案する。各モードの分配関数は、整数分割のオイラー生成関数 p(n) に一致し、双曲的低周波数揺動スペクトルを生じる。エネルギーの修正式 ∼π²/(6x) （x = hν/kT）が導かれ、黒体放射およびデバイ固体における1/νのエネルギー揺動と赤外補正が得られる。これはモジュラー形式およびラマヌジャン＝ラデマッハ数論に基づく。

ABSTRACT

We describe a new model of massless thermal bosons which predicts an hyperbolic fluctuation spectrum at low frequencies. It is found that the partition function per mode is the Euler generating function for unrestricted partitions $p(n)$. Thermodynamical quantities carry a strong arithmetical structure: they are given by series with Fourier coefficients equal to summatory functions $σ_k(n)$ of the power of divisors, with $k=-1$ for the free energy, $k=0$ for the number of particles and $k=1$ for the internal energy. Low frequency contributions are calculated using Mellin transform methods. In particular the internal energy per mode diverges as $\frac{ ilde{E}}{kT}=\frac{π^2}{6 x}$ with $x=\frac{h ν}{kT}$ in contrast to the Planck energy $ ilde{E}=kT$. The theory is applied to calculate corrections in black body radiation and in the Debye solid. Fractional energy fluctuations are found to show a $1/ν$ power spectrum in the low frequency range. A satisfactory model of frequency fluctuations in a quartz crystal resonator follows. A sketch of the whole Ramanujan--Rademacher theory of partitions is reminded as well.

研究の動機と目的

• 標準的量子統計力学における1/νノイズの欠如を解消するため、非簡約ボソンの分配関数を再解釈すること。
• 各モードの分配関数が整数分割のオイラー生成関数に一致することを示し、熱力学的量に算術的構造を導入すること。
• メリン変換およびモジュラー関数技法を用いて、黒体放射およびデバイ固体モデルの低周波数補正を導出すること。
• ラマヌジャン＝ラデマッハのp(n)に対する公式を通じて、数論と量子統計力学を結びつけること。特にフォード円およびデデキンド和を用いる。
• 分数エネルギー揺動が1/νパワースペクトルを示すことを示し、標準的な1/ν²のランダムウォーク的挙動と対照にすること。

提案手法

• 等間隔のエネルギー準位 nhν を持つ非簡約ボソン気体をモデル化し、各モードの分配関数をオイラー積 ∏_{n≥1} 1/(1−y^n) （y = exp(−x), x = hν/kT）として表現する。
• 分配関数が整数分割の生成関数として特定され、モジュラー形式およびモジュラー関数論と関連づけられる。
• 特に内部エネルギーおよび自由エネルギーの各モードに対する低周波数寄与を分析するため、メリン変換技法を適用する。
• p(n) のラマヌジャン＝ラデマッハ公式（ファレイ数列、フォード円、デデキンド和を含む）を用いて、正確な漸近展開を計算する。
• 上半平面に沿った経路に沿って分配関数を統合し、ラデマッハの輪郭を z = iz/q² でパrameter化することで、p(n) の正確な式を導出する。
• 自由エネルギー、内部エネルギー、エントロピーといった熱力学的量を、それぞれ k = −1, 0, 1 の除数のべきの和函数 σ_k(n) をフーリエ係数とする級数として導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非簡約ボソンの再解釈された分配関数から、熱的平衡状態における量子的1/fノイズが生じ得るか？
• RQ2 整数分割のオイラー生成関数が、低周波数における熱力学的挙動を決定づける役割を果たすか？
• RQ3 モジュラー形式およびデデキンド和が、赤外領域における分配関数寄与の正確な計算にどのように寄与するか？
• RQ4 分配関数にp(n)による多粒子ミクロ状態が含まれる場合、黒体放射およびデバイ固体モデルにどのような補正が生じるか？
• RQ5 得られるエネルギー揺動スペクトルが1/νのパワー則を示すか？また、標準的な1/ν²ランダムウォークモデルとはどのように異なるか？

主な発見

• 内部エネルギーの各モードあたりの値 Ẽ/(kT) は x = hν/kT に対して π²/(6x) として発散し、低周波数領域ではプランクの結果 Ẽ = kT より顕著に大きくなる。
• 自由エネルギーの各モードあたりの表現は、n の約数の逆数の和 σ_{−1}(n) を係数とする級数として与えられ、深い算術的構造を示す。
• 各モードあたりの粒子数は σ_0(n)、つまりnの約数の個数に支配され、周波数に数論的依存性を示す。
• 気体内のエネルギー揺動の分数的変動は1/νパワースペクトルを示し、標準的統計力学の1/ν²スペクトルとは対照的である。
• 黒体放射における光子密度は、新しい赤外寄与のおかげで ζ(3) ≈ 1.20 の要因で増加する。
• デバイ固体におけるフォノン比熱も同様に ζ(3) の要因で増加し、固体物理学的系において測定可能な補正を示す。