[論文レビュー] Quantum 2-SAT on Low Dimensional Systems Is QMAsubscript{1}-Complete: Direct Embeddings and Black-Box Simulation

Sevag Gharibian, Dorian Rudolph|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2022

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、ストリーミング量子証明モデル（SQCMASPACE）を導入し、それがNEXPと等価であることを証明することで、低次元系における量子2-SATがQMA₁-完全であることを確立している。指数的長さの古典的証明を用いる場合、量子制約充足問題の解空間は常に局所的ユニタリシミュレーションによって接続されていることを示し、SQCMASPACE計算を非エンタングルな証明者を用いたQMA(2)-完全なスパース分離ハミルトニアン問題に埋め込む方法を提示することで、Ground State Connectivity（GSCON）問題の未解決の問いを解決している。

ABSTRACT

A celebrated result in classical complexity theory is Savitch’s theorem, which states that non-deterministic polynomial-space computations (NPSPACE) can be simulated by deterministic poly-space computations (PSPACE). In this work, we initiate the study of a quantum analogue of NPSPACE, denoted Streaming-QCMASPACE (SQCMASPACE), in which an exponentially long classical proof is streamed to a poly-space quantum verifier. We first show that a quantum analogue of Savitch’s theorem is unlikely to hold, in that SQCMASPACE = NEXP. For completeness, we also introduce the companion class Streaming-QMASPACE (SQMASPACE) with an exponentially long streamed quantum proof, and show SQMASPACE = QMAEXP (the quantum analogue of NEXP). Our primary focus, however, is on the study of exponentially long streaming classical proofs, where we next show the following two main results. The first result shows that, in strong contrast to the classical setting, the solution space of a quantum constraint satisfaction problem (i.e. a local Hamiltonian) is always connected when exponentially long proofs are permitted. For this, we show how to simulate any Lipschitz continuous path on the unit hypersphere via a sequence of local unitary gates, at the expense of blowing up the circuit size. This shows that quantum error-correcting codes can be unable to detect one codeword erroneously evolving to another if the evolution happens sufficiently slowly, and answers an open question of [Gharibian, Sikora, ICALP 2015] regarding the Ground State Connectivity problem. Our second main result is that any SQCMASPACE computation can be embedded into "unentanglement", i.e. into a quantum constraint satisfaction problem with unentangled provers. Formally, we show how to embed SQCMASPACE into the Sparse Separable Hamiltonian problem of [Chailloux, Sattath, CCC 2012] (QMA(2)-complete for 1/poly promise gap), at the expense of scaling the promise gap with the streamed proof size. As a corollary, we obtain the first systematic construction for obtaining QMA(2)-type upper bounds on arbitrary multi-prover interactive proof systems, where the QMA(2) promise gap scales exponentially with the number of bits of communication in the interactive proof. Our construction uses a new technique for exploiting unentanglement to simulate quadratic Boolean functions, which in some sense allows history states to encode the future.

研究の動機と目的

• 指数的長さの古典的証明を伴うNPSPACEの量子アナログを形式化・研究し、ストリーミング-QCMASPACE（SQCMASPACE）というクラスを導入すること。
• 多項式長証明で難しいとされる量子複雑度問題が、指数的長さの証明によって自明化するかどうかを調査すること。
• 指数的長さの証明を許容する場合、局所的ハミルトニアンの解空間が常に接続されていることを示すことにより、Ground State Connectivity（GSCON）問題を解決すること。
• マルチプローバーインタラクティブ証明を非エンタングルな量子制約充足問題に体系的に埋め込むことにより、QMA(2)型の上界を確立すること。

提案手法

• 多項式空間の量子検証者が、指定されたキュービット上で単一キュービットゲート（IまたはX）を用いて、ビット単位で入力される古典的証明を処理するストリーミングモデルを導入する。
• リプシッツ連続な単位超球面上の経路を、局所的ユニタリゲートの系列によってシミュレートする技術を開発し、量子状態の連続的変化を可能にする。
• SQCMASPACEを、QMA(2)-完全であることが知られているスパース分離ハミルトニアン問題へ直接埋め込む構成を行い、保証ギャップが証明長の逆数に比例することを示す。
• 将来の進化を非エンタングル性を用いてシミュレートするためのヒストリステート構成を用い、非エンタングルな証明者による2次ブール関数のシミュレーションを可能にする。
• パスに沿った最小エネルギーを制限するためのトレバーシング補題を適用し、GSCON還元における妥当性を保証する。
• PSPACE-完全問題を、保証ギャップが逆指数関数的に縮む正確なk-LHインスタンスに還元し、それらをGSCONexpに埋め込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Savitchの定理の量子アナログが成り立つのか、すなわちSQCMASPACEはPSPACEに等しいか？
• RQ2 指数的長さの古典的証明が、量子制約充足問題（例：局所的ハミルトニアン）の解空間を常に接続させるか？
• RQ3 任意のSQCMASPACE計算を、非エンタングルな証明者を用いた問題、特にQMA(2)-完全問題に埋め込むことができるか？
• RQ4 指数的長さの証明を許容する場合、Ground State Connectivity（GSCON）問題は自明になるか？
• RQ5 通信量に指数的に比例する保証ギャップを伴うQMA(2)を用いて、マルチプローバーインタラクティブ証明を体系的に上界付けることができるか？

主な発見

• SQCMASPACE = NEXPであり、Savitchの定理の量子アナログは成立しないことが示された。
• 指数的長さの古典的証明が許容される場合、任意の局所的ハミルトニアンの解空間は、局所的ユニタリ経路によるシミュレーションによって常に接続されている。
• 任意のSQCMASPACE計算は、QMA(2)-完全であるスパース分離ハミルトニアン問題に埋め込むことができ、保証ギャップが1/poly(2^p(n))に比例する。ここでp(n)は証明長である。
• Ground State Connectivity問題は解決された：同じ証明モデルのもとで、その解空間は常に接続されている。これはGharibianとSikora（ICALP 2015）が提起した未解決の問いに答えている。
• マルチプローバーインタラクティブ証明をQMA(2)を用いて上界付ける体系的な構成が提供された。ここでQMA(2)の保証ギャップは通信量のビット数に指数的に比例する。
• 本稿では、SEPARABLE SPARSE GSCONexpがNEXP-完全であることが確立された。これにより、Ground State Connectivity問題の複雑度分類が拡張された。