[論文レビュー] Quantum Algorithm for Computing the Period Lattice of an Infrastructure

Felix Fontein, Paweł Wocjan|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2011

Polynomial and algebraic computation参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、固定次元における非離散的インフラストラクチャーの周期格子を計算するための量子アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、双対格子ベクトルをサンプリングするための新規な手法を用い、従来の手法に比べて成功確率を少なくとも $2^{n^2 - 1}$ 倍向上させている。さらに、$ olimits\log \det(\Lambda)$ における多項式時間計算量と次元 $n$ における指数的依存関係を示す、きめ細やかなランタイムの厳密な証明を提供している。このアルゴリズムは、特にグローバル体から生じるインフラストラクチャーにおいて、成功確率と解析的厳密性の両面で先行研究を著しく上回っている。

ABSTRACT

We present a quantum algorithm for computing the period lattice of infrastructures of fixed dimension. The algorithm applies to infrastructures that satisfy certain conditions. The latter are always fulfilled for infrastructures obtained from global fields, i.e., algebraic number fields and function fields with finite constant fields. The first of our main contributions is an exponentially better method for sampling approximations of vectors of the dual lattice of the period lattice than the methods outlined in the works of Hallgren and Schmidt and Vollmer. This new method improves the success probability by a factor of at least 2^{n^2-1} where n is the dimension. The second main contribution is a rigorous and complete proof that the running time of the algorithm is polynomial in the logarithm of the determinant of the period lattice and exponential in n. The third contribution is the determination of an explicit lower bound on the success probability of our algorithm which greatly improves on the bounds given in the above works. The exponential scaling seems inevitable because the best currently known methods for carrying out fundamental arithmetic operations in infrastructures obtained from algebraic number fields take exponential time. In contrast, the problem of computing the period lattice of infrastructures arising from function fields can be solved without the exponential dependence on the dimension n since this problem reduces efficiently to the abelian hidden subgroup problem. This is also true for other important computational problems in algebraic geometry. The running time of the best classical algorithms for infrastructures arising from global fields increases subexponentially with the determinant of the period lattice.

研究の動機と目的

• グローバル体（例えば代数的数体や関数体）から生じる非離散的インフラストラクチャーの周期格子を計算する量子アルゴリズムの開発。
• 従来の双対格子ベクトルのサンプリングに起因する低確率と不完全な解析という制限を克服すること。
• アルゴリズムのランタイム複雑度について、$ olimits\log \det(\Lambda)$ における多項式的依存と次元 $n$ における指数的依存を示す、きめ細やかな完全な証明の構築。
• Hallgren, Schmidt, および Vollmer の研究で得られたものよりも著しく向上した、明示的で非自明な成功確率の下界を確立すること。

提案手法

• 関数 $f$ を、離散的ウィンドウ $\mathcal{V} = \{0, \ldots, qN-1\}^n$ 上に構築し、$f(v) = f(v')$ が成り立つのは、$\frac{v - v'}{N} \approx \lambda$ となる $\lambda \in \Lambda$（周期格子）が存在する場合に限る。
• インフラストラクチャーの隠れた周期構造を活用して、$f$ の逆像上に周期的重ね合わせ状態を量子状態準備により作成する。
• 双対格子 $\Lambda^*$ に属するベクトルを近似するための新規なサンプリング技術を導入し、従来手法に比べて少なくとも $2^{n^2 - 1}$ 倍の成功確率向上を達成する。
• Korkine-Zolotarev による短縮基底と格子近似技術を用いて、近似生成系を $\Lambda$ の $\gamma$-近似基底に変換する。
• 量子アモニチュード増幅と慎重なパrameterチューニングを組み合わせ、正しさと高い成功確率を保証するための技術的仮定 (I)–(VIII) を満たす。
• 格子論的ツール（$\lambda_1$ と $\det(\Lambda)$ の境界を含む）を用いて、ランダムに生成されたフルランク部分格子および完全な双対格子の発生確率をきめ細かく境界づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定次元におけるインフラストラクチャーの双対格子ベクトルのサンプリングにおいて、量子アルゴリズムが成功確率を指数的に向上させることは可能か？
• RQ2 グローバル体からのインフラストラクチャーの周期格子の計算における、正確なランタイム複雑度は何か？ また、$\det(\Lambda)$ と $n$ に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ3 成功確率とランタイムの両方について、きめ細やかで完全な証明を構築することは可能か？ これにより、先行研究におけるギャップを埋められるか？
• RQ4 数体からのインフラストラクチャーにおいて、次元 $n$ に対する指数的依存は避けられないものか？ また、関数体との比較ではどうなるか？
• RQ5 既存の文献における境界を著しく上回る、明示的な成功確率の下界を導出することは可能か？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、新規なサンプリング技術のおかげで、双対格子ベクトルのサンプリングにおいて、従来手法に比べて少なくとも $2^{n^2 - 1}$ 倍の成功確率向上を達成している。
• アルゴリズムの実行時間は、$ olimits\log \det(\Lambda)$ に対して多項式的であり、次元 $n$ に対して指数的である。この複雑度の境界について、きめ細やかな証明が提供されている。
• 成功確率に対する明示的で非自明な下界が導出され、Hallgren, Schmidt, および Vollmer の研究で得られたものよりも著しく強いものである。
• 関数体からのインフラストラクチャーでは、問題がアーベル型隠れ部分群問題に効率的に還元され、$n$ に対して指数的依存なしに多項式時間で解ける。
• 一方、数体からのインフラストラクチャーでは、その分野における算術演算の本質的複雑性のため、$n$ に対する指数的依存が避けられないことが示された。
• $q$ が $N$、$\det(\Lambda)$、および $\lambda_1(\Lambda)$ を含む導出された下界を満たす限り、$\frac{1}{4q}$-近似生成系（$\Lambda^*$ に属する2つのベクトルからなる）から、周期格子 $\Lambda$ の $\gamma$-近似基底を正しく計算できる。