[論文レビュー] Quantum algorithm for finding periodicities in the spectrum of a black-box Hamiltonian or unitary transformation

Dominik Janzing, Thomas Beth|ArXiv.org|Aug 10, 2001

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、未知のハミルトニアンのエネルギー固有値スペクトルにおける周期性を推定するための量子アルゴリズムを提示する。この手法では、$U = \exp(-iHt)$ のブラックボックスアクセスのみを用いて、$U \otimes U^\dagger$ の固有値を測定することで実現される。状態交換と制御操作を用いることで、制御$U$ゲートの必要性を回避し、$U \otimes U^\dagger$ における位相推定を可能にし、密度関数の自己相関関数を抽出する。これにより、スペクトルの周期性が明らかになる。

ABSTRACT

Estimating the eigenvalues of a unitary transformation U by standard phase estimation requires the implementation of controlled-U-gates which are not available if U is only given as a black box. We show that a simple trick allows to measure eigenvalues of U\otimes U^\dagger even in this case. Running the algorithm several times allows therefore to estimate the autocorrelation function of the density of eigenstates of U. This can be applied to find periodicities in the energy spectrum of a quantum system with unknown Hamiltonian if it can be coupled to a quantum computer.

研究の動機と目的

• 標準的量子位相推定が制御$U$操作を必要とすることの制限を解消すること。
• 固体物理学における多体系のような量子系における未知ハミルトニアンのスペクトル解析を可能にすること。
• $U$の構造を明示的に知らずに、$U \otimes U^\dagger$ の固有値推定により、固有状態密度の自己相関関数を抽出すること。
• 制御$U$ゲートが利用できない状況でも、単位的時間発展演算子とアーキテクチャベースの制御のみを用いて、エネルギースペクトルの周期性（例えば、周期的スペクトルギャップ）を検出する実用的手法を提供すること。

提案手法

• ターゲットレジスタ $\mathcal{H}$、$k$ ビットのアーキテクチャレジスタ $\mathcal{R}_a$、および $\mathcal{H}$ と同じ次元を持つ二つの補助レジスタ $\mathcal{R}_1$ と $\mathcal{R}_2$ を用意する。
• 状態交換と条件付き操作を用いて、$U$ を $\mathcal{R}_1$ 上での有効な制御$U^{2^j}$ 操作に変換する共役プロトコルを実装する。
• アーキテクチャレジスタ $\mathcal{R}_a$ の制御キュービット $j$ に従って、$\mathcal{R}_1$ と $\mathcal{R}_2$ 間のスワップ操作を実行し、フリードキンゲートを用いてキュービットレベルで実装する。
• 得られた変換 $V_j'' = |1_j\rangle\langle 1_j| \otimes U^{2^j} \otimes U^{-2^j} + |0_j\rangle\langle 0_j| \otimes 1 \otimes 1$ を用いて、$U \otimes U^\dagger$ における位相推定を実行する。
• アーキテクチャをスーパポジション状態に初期化し、逆量子フーリエ変換を適用して、得られた状態から固有値情報を抽出する。
• 複数回この手順を繰り返すことで、$U$ の固有状態密度の自己相関関数を推定し、スペクトル内の周期的構造を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御$U$操作にアクセスできない状況でも、未知ハミルトニアンのエネルギースペクトルにおける周期性を検出できるか？
• RQ2 ブラックボックスアクセスでの $U = \exp(-iHt)$ のみを用いて、状態密度の自己相関関数を推定できるか？
• RQ3 制御$U$ゲートが利用できない場合、$U$ の代わりに $U \otimes U^\dagger$ における位相推定をどのように適合できるか？
• RQ4 $U \otimes U^\dagger$ の固有値から、スペクトルギャップや周期的エネルギー準位間隔といった物理的情報をどのように抽出できるか？
• RQ5 完全なスペクトル解析が困難な多体量子系に、この手法を適用できるか？

主な発見

• 標準的位相推定の主な制限である制御$U$操作の必要性を克服し、$U \otimes U^\dagger$ における位相推定を実現する。
• 補助レジスタ間の状態交換と条件付きスワップを用いることで、共役を介して $\mathcal{R}_1$ 上に有効な制御$U^{2^j}$ 操作を実装する。
• $U \otimes U^\dagger$ の固有値は、$U$ の固有値間の位相差に対応し、状態密度の自己相関関数の再構成を可能にする。
• 全スペクトルが未知または指数的サイズであっても、エネルギースペクトル内の周期性（例えば、周期的スペクトルギャップ）の検出が可能である。
• 周期的特徴（例えば、一定のギャップ間隔）にのみ関心がある場合、必要なアーキテクチャレジスタサイズは系のサイズに比例しないため、多体系においても効率的な検出が可能である。
• 固体状態材料のような物理系に適用可能であり、スペクトル周期性が熱力学的および力学的挙動に影響を与える。