[論文レビュー] Quantum Algorithm for Generalized Deutsch-Jozsa Problem

Dong Pyo, Jinsoo Kim+1 more|ArXiv.org|May 16, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Z_N から Z_M への関数へのデュイッチ＝ジョーズァ問題を一般化し、関数が非定数であるか、均等に分布していないかを、唯一1回の評価で特定する量子アルゴリズムを導入する。このアルゴリズムは、初期化されたア丹チ・キュービットを必要とせず、分離可能な補助レジスタを介した制御位相キックバック機構を用い、量子フーリエ変換および干渉操作の後、制御レジスタの出力状態を測定することで正しく分類を達成する。

ABSTRACT

We generalize the Deutsch-Jozsa problem and present a quantum algorithm that can solve the generalized Deutsch-Jozsa problem by a single evaluation of a given function. We discuss the initialization of an auxiliary register and present a generalized Deutsch-Jozsa algorithm that requires no initialization of an auxiliary register.

研究の動機と目的

• 元のデュイッチ＝ジョーズァ問題を、Z_2 に限定されない Z_M への出力を持つ関数へと拡張すること。
• 標準のデュイッチ＝ジョーズァ設定におけるア丹チレジスタの初期化を必要とせず、唯一1回の関数評価で一般化問題を解く量子アルゴリズムを開発すること。
• 標準のデュイッチ＝ジョーズァ設定におけるア丹チレジスタの初期化要件を排除すること。
• Z_M 上で等しいサイズの逆像集合を持つ「均等に分布した関数」への「バランス関数」の概念の一般化を実現すること。
• 補助レジスタがベル状態に準備されていない場合でも、アルゴリズムが正しく動作することを示すこと。

提案手法

• 関数 f: Z_N → Z_M が、K 個の等間隔の値に均等にマッピングされ、各値の逆像サイズが ν = N/K に等しい場合、それを均等に分布していると定義することで、デュイッチ＝ジョーズァ問題を一般化する。
• 制御レジスタを |0^n⟩ で初期化し、補助レジスタを一般な分離可能な重ね合わせ状態 |Ψ⟩ = ⊗_j (a_j|0⟩ + b_j|1⟩) で準備する。
• W_n ⊗ I → U_f^⊕ → I ⊗ σ_z^⊗m → U_f^⊕ → I ⊗ σ_z^⊗m → W_n ⊗ I の順序で操作を適用し、関数依存の位相シフトを誘発する。
• 位相シフトは、p: Z_M → Z_2^m というパリティ関数を介して符号化され、f(x) がその2進表現にマッピングされ、p(f(x)) がビット単位のXORを計算することで実現される。
• 量子フーリエ変換と干渉を用いて、定数関数と均等に分布した関数との間に差を強調し、最終測定で識別可能にする。
• f が定数関数の場合、最終状態は |0^n⟩ に確率振幅1で収束し、測定結果は |0^n⟩ に確実に現れる。一方、f が均等に分布している場合、|0^n⟩ の振幅は正確に0であるため、測定結果として |0^n⟩ は決して現れない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Z_M における非二値出力を持つ関数に対して、デュイッチ＝ジョーズァアルゴリズムを一般化できるか？
• RQ2 量子干渉を用いて、一般化問題を唯一1回の関数評価で解けるか？
• RQ3 一般化されたアルゴリズムにおいて、補助レジスタの初期化を排除することが可能か？
• RQ4 Z_M への出力を持つ関数に対して、「バランス」という概念をどのように拡張すべきか？
• RQ5 補助レジスタがベル状態に準備されていない場合、位相キックバック機構の役割は何か？

主な発見

• 一般化されたアルゴリズムは、f: Z_N → Z_M が非定数であるか、均等に分布していないかを、f の唯一1回の評価で特定可能である。
• f が定数関数の場合、制御レジスタの最終状態は振幅1で |0^n⟩ に収束し、測定結果は |0^n⟩ に確実に現れる。
• f が均等に分布している場合、最終状態における |0^n⟩ の振幅は正確に0であるため、|0^n⟩ の測定結果は決して発生しない。
• 補助レジスタが一般な分離可能な重ね合わせ状態に準備されていても、アルゴリズムは有効であり、|−⟩ に初期化する必要はない。
• この手法は、任意のパリティ関数 p: Z_M → Z_2^m への位相キックバック機構の一般化を実現し、ア丹チキュービットの初期化なしに関数依存の位相シフトを可能にする。
• アルゴリズムは、元のデュイッチ＝ジョーズァアルゴリズムと同等の量子優位性を達成しており、1クエリで問題を解ける一方、古典的手法では最悪ケースで最大 N/2 + 1 回の評価を要する。