[論文レビュー] Quantum Algorithm to Solve a Maze: Converting the Maze Problem into a Search Problem

Niraj Kumar, Debabrata Goswami|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2013

Advanced Algebra and Logic参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Groverのアルゴリズムを用いて問題を量子探索タスクに再定式化することで、2次元の完全な迷路を解くための量子アルゴリズムを提案する。すべての可能な経路を量子状態として符号化し、ゴールに近いかどうかを評価するフィットネス演算子を用い、動的閾値を用いたオракルを繰り返し適用することで最適な経路に収束させ、古典的手法に比べて2乗の高速化を達成する。

ABSTRACT

We propose a different methodology towards approaching a Maze problem. We convert the problem into a Quantum Search Problem (QSP), and its solutions are sought for using the iterative Grover's Search Algorithm. Though the category of mazes we are looking at are of the NP complete class, we have redirected such a NP complete problem into a QSP. Our solution deals with two dimensional perfect mazes with no closed loops. We encode all possible individual paths from the starting point of the maze into a quantum register. A quantum fitness operator applied on the register encodes each individual with its fitness value. We propose an oracle design which marks all the individuals above a certain fitness value and use the Grover search algorithm to find one of the marked states. Iterating over this method, we approach towards the optimum solution.

研究の動機と目的

• 量子計算の原則を用いてNP完全な迷路解法問題に取り組む。
• 迷路の到達を量子探索問題（QSP）に再定式化し、量子の利点を活用する。
• ゴールに近い経路をマークするフィットネスベースのオーキュレーティングを設計する。
• 動的閾値を用いた反復的Grover探索を実装し、最適な経路に効率的に近づく。
• 量子アルゴリズムが古典的全探索に比べて2乗の高速化を達成できることを示す。

提案手法

• 閉ループを持たないよう、再帰的バックトラッカー法を用いて迷路を生成する。
• アダマールゲートを用いて、開始点から終了点までのすべての可能な経路を量子レジスタ内の重ね合わせ状態として符号化する。
• 経路がゴールにどの程度近いかを定量化するフィットネス関数を定義し、エンタングルドされたフィットネスレジスタに格納する。
• 動的に更新される閾値よりも高いフィットネス値を持つ経路をマークする量子オーキュレーティングを設計する。
• マークされた（高フィットネスの）状態の振幅を増幅するために、Groverの拡散演算子を繰り返し適用する。
• 閾値を更新しながらプロセスを繰り返すことで、段階的に最適な経路に収束する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 問題を量子探索問題に変換することで、2次元の完全な迷路を量子アルゴリズムが効果的に解けるか？
• RQ2 量子符号化フレームワーク内での経路品質の評価に、どのようにフィットネス関数を定義できるか？
• RQ3 オーキュレーティングが高フィットネス経路をマークし、段階的改善を可能にする役割は何か？
• RQ4 動的閾値を用いた反復的Grover探索は、最適な経路への収束をどの程度改善するか？
• RQ5 このアプローチの計算量の上限は、古典的全探索に比べてどうか？

主な発見

• 本アルゴリズムは、nキュービットのレジスタを用いてすべての可能な経路を量子重ね合わせ状態として符号化し、探索空間のサイズが4^nとなる。
• フィットネス演算子は経路の品質を評価し、経路状態とエンタングルさせることで、測定に基づく高品質経路の選択を可能にする。
• オーキュレーティングは、閾値を超えるフィットネス値を持つ経路をマークし、Groverのアルゴリズムはk個のマーク済み状態に対してO(√k)ステップでその振幅を増幅する。
• 更新された閾値を用いたGrover探索の反復的適用により、有限ステップ内で最適な経路に収束するが、Groverの2乗の高速化のため、多項式時間内に保証されない。
• 本手法は古典的全探索に比べて2乗の高速化を達成するが、指数的高速化を提供しないことから、GroverのアルゴリズムがNP完全問題に対して現在の限界を示している。
• 将来の指数的高速化を達成する量子探索アルゴリズムは、迷路解法などのNP完全問題を多項式時間で解く可能性を秘めている。