[論文レビュー] Quantum Algorithms for Ground-State Preparation and Green's Function Calculation

Trevor Keen, Eugene Dumitrescu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、線形ユニタリ結合（LCU）および Hubbard-Stratonovich 変換を用いて、基底状態準備と多体グリーン関数計算のための効率的量子アルゴリズムを提案する。基底状態準備のスケーリングは $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\gamma\Delta}\log\frac{1}{\gamma\eta}\right)$、グリーン関数のスケーリングは $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\Gamma^2}\log\frac{1}{\Gamma\epsilon}\right)$ であり、フェルミ＝ハッブル模型および $q$-deformed XXZ 鏈での数値的検証が行われた。

ABSTRACT

We propose quantum algorithms for projective ground-state preparation and calculations of the many-body Green's functions directly in frequency domain. The algorithms are based on the linear combination of unitary (LCU) operations and essentially only use quantum resources. To prepare the ground state, we construct the operator ${\exp}(-τ\hat{H}^2)$ using Hubbard-Stratonovich transformation by LCU and apply it on an easy-to-prepare initial state. Our projective state preparation procedure saturates the near-optimal scaling, $\mathcal{O}(\frac{1}{γΔ} \log \frac{1}{γη})$, of other currently known algorithms, in terms of the spectral-gap lower bound $Δ$, the additive error $η$ in the state vector, and the overlap lower bound $γ$ between the initial state and the exact ground state. It is straightforward to combine our algorithm with spectral-gap amplification technique to achieve quadratically improved scaling $\mathcal{O}(1/\sqrtΔ)$ for ground-state preparation of frustration-free Hamiltonians, which we demonstrate with numerical results of the $q$-deformed XXZ chain. To compute the Green's functions, including the single-particle and other response functions, we act on the prepared ground state with the retarded resolvent operator $R(ω+ iΓ; \hat{H})$ in the LCU form derived from the Fourier-Laplace integral transform (FIT). Our resolvent algorithm has $\mathcal{O}(\frac{1}{Γ^2} \log\frac{1}{Γε})$ complexity scaling for the frequency resolution $Γ$ of the response functions and the targeted error $ε$, while classical algorithms for FIT usually have polynomial scaling over the error $ε$. To illustrate the complexity scaling of our algorithms, we provide numerical results for their application to the paradigmatic Fermi-Hubbard model on a one-dimensional lattice with different numbers of sites.

研究の動機と目的

• 多体ハミルトニアンの基底状態を、近似的に最適なリソーススケーリングで効率的に準備する量子アルゴリズムの開発。
• 量子リゾルベント作用素を用いて、周波数領域における多体グリーン関数の直接計算を可能にする。
• スペクトルギャップが小さい系における基底状態準備の高コストを、射影法およびスペクトルギャップ拡張によって克服する。
• フーリエ＝ラプラス積分変換を用いて、周波数分解能応答関数に対して古典的手法よりも指数的高速化を達成する。
• フェルミ＝ハッブル模型および $q$-deformed XXZ 鏈における数値シミュレーションを通じて、実用的妥当性を示す。

提案手法

• 基底状態準備アルゴリズムは、Hubbard-Stratonovich 変換を用いて $\exp(-\tau\hat{H}^2)$ を構築し、線形ユニタリ結合（LCU）を用いて実装する。
• 初期状態に作用する作用素 $\cos^M(H)$ を繰り返し適用することで基底状態を射影し、収束はスペクトルギャップ $\Delta$、重なり $\gamma$、誤差 $\eta$ に依存する。
• グリーン関数計算では、遅延リゾルベント $R(\omega + i\Gamma; \hat{H})$ がフーリエ＝ラプラス積分変換（FIT）を用いて LCU 形式に表現される。
• アルゴリズムは周波数分解能 $\Gamma$ および誤差 $\epsilon$ に対して $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\Gamma^2}\log\frac{1}{\Gamma\epsilon}\right)$ のスケーリングを達成し、古典的 FIT 手法を上回る。
• スペクトルギャップ拡張を射影法と組み合わせることで、非フラストレーション系に対して $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\sqrt{\Delta}}\right)$ のスケーリングを達成する。
• 1次元フェルミ＝ハッブルおよび $q$-deformed XXZ 鏈を対象に数値的検証を行い、スケーリング特性および誤差境界の妥当性を確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LCU を用いた $\exp(-\tau\hat{H}^2)$ を用いた射影的基底状態準備は、スペクトルギャップ $\Delta$、重なり $\gamma$、誤差 $\eta$ に関して、近似的に最適なスケーリングを達成できるか？
• RQ2 射影法とスペクトルギャップ拡張を組み合わせることで、非フラストレーション系において $\mathcal{O}(1/\sqrt{\Delta})$ の2乗改善スケーリングが達成できるか？
• RQ3 LCUに基づくリゾルベント評価を用いて、周波数領域グリーン関数を $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\Gamma^2}\log\frac{1}{\Gamma\epsilon}\right)$ の複雑度で計算できるか？
• RQ4 フェルミ＝ハッブルおよび $q$-deformed XXZ 鏈といった現実的モデルにおいて、アルゴリズムの性能はどのようにスケーリングするか？
• RQ5 スペクトルギャップおよび初期状態の重なりを考慮した場合、誤差境界を維持するための基底エネルギーの必要精度と LCU 項の数は何か？

主な発見

• 基底状態準備アルゴリズムは $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\gamma\Delta}\log\frac{1}{\gamma\eta}\right)$ のスケーリングを達成し、射影法の近似的に最適な境界に到達した。
• 非フラストレーション系において、スペクトルギャップ拡張により $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\sqrt{\Delta}}\right)$ のスケーリングが可能であり、$q$-deformed XXZ 鏈での数値的確認が得られた。
• グリーン関数アルゴリズムは周波数分解能 $\Gamma$ および誤差 $\epsilon$ に対して $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\Gamma^2}\log\frac{1}{\Gamma\epsilon}\right)$ のスケーリングを示し、古典的 FIT に対して指数的優位性を示した。
• 必要な基底エネルギーの精度は $\mathcal{O}\left(\frac{\Delta}{\log^{1/2}\frac{1}{\gamma\eta}}\right)$ であり、条件 $\tau' \sim \Delta / \log^{1/2}(1/\gamma\eta)$ から導出された。
• LCU 項の数 $m_0$ は $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\Delta}\log\frac{\sqrt{2}}{\gamma\eta}\right)$ にスケーリングし、$\sqrt{2}$ 要素は数値的比較における誤差制御を厳密にする。
• 1次元フェルミ＝ハッブル模型における数値結果は、さまざまな系サイズおよびパrameter における予測されたスケーリング特性を確認した。