[論文レビュー] Quantum algorithms for linear systems of equations inspired by adiabatic quantum computing

Yiğit Subaşı, Rolando D. Somma+1 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、進化乱数化と呼ばれるアディアバティック量子計算の変種を用いて、線形方程式系を解く2つの新しい量子アルゴリズムを提示する。A、|b⟩、およびパウリ演算子からハミルトニアンを構築することで、時間計算量がそれぞれO(κ² log(κ)/ε)およびO(κ log(κ)/ε)のアルゴリズムが得られ、標準的な仮定の下で指数的スピードアップを達成し、位相推定や大規模なアタッチ量子ビットを回避する。

ABSTRACT

We present two quantum algorithms based on evolution randomization, a simple variant of adiabatic quantum computing, to prepare a quantum state $\vert x angle$ that is proportional to the solution of the system of linear equations $A \vec{x}=\vec{b}$. The time complexities of our algorithms are $O(\kappa^2 \log(\kappa)/\epsilon)$ and $O(\kappa \log(\kappa)/\epsilon)$, where $\kappa$ is the condition number of $A$ and $\epsilon$ is the precision. Both algorithms are constructed using families of Hamiltonians that are linear combinations of products of $A$, the projector onto the initial state $\vert b angle$, and single-qubit Pauli operators. The algorithms are conceptually simple and easy to implement. They are not obtained from equivalences between the gate model and adiabatic quantum computing. They do not use phase estimation or variable-time amplitude amplification, and do not require large ancillary systems. We discuss a gate-based implementation via Hamiltonian simulation and prove that our second algorithm is almost optimal in terms of $\kappa$. Like previous methods, our techniques yield an exponential quantum speedup under some assumptions. Our results emphasize the role of Hamiltonian-based models of quantum computing for the discovery of important algorithms.

研究の動機と目的

• アディアバティック量子計算にインspiredされた新規アプローチを用いて、線形方程式系Ax = bを効率的に解く量子アルゴリズムを開発すること。
• 従来の方法でリソースを食いすぎる位相推定や変動時間のアモニファイケーションに依存しないようにすること。
• 概念的に単純で、最小限のアタッチ量子ビットを必要とし、ゲートベースの実装に適したアルゴリズムを設計すること。
• 行列Aの条件数κにおいて、ほぼ最適なスケーリングを達成すること。

提案手法

• アルゴリズムは、解|x⟩ ∝ A⁻¹|b⟩に toward するように量子状態を進化させるために、アディアバティック量子計算の簡素化された変種である進化乱数化を用いる。
• A、射影子|b⟩⟨b|、および1量子ビットのパウリ演算子の線形結合としてハミルトニアンを構築し、制御された進化を可能にする。
• 時間発展演算はハミルトニアンシミュレーションを介して実装され、ゲートベースの量子回路実装が可能になる。
• 最初のアルゴリズムはO(κ² log(κ)/ε)の時間計算量を達成するが、第二のアルゴリズムはこれをO(κ log(κ)/ε)に改善する。
• 大規模なアタッチシステムの必要性を回避する点で、従来のアプローチとは区別される。
• ゲートモデルとアディアバティックモデルの同等性から独立に導かれたアルゴリズムであり、直接的なハミルトニアン設計に依存している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アディアバティック量子計算の単純な変種を用いて、従来の方法よりも効率的に線形方程式系を解くことは可能か？
• RQ2 位相推定やアモニファイケーションを用いずに、線形方程式系における量子スピードアップを達成することは可能か？
• RQ3 このようなアルゴリズムにおける条件数κの最適スケーリングは何か？ そして、それを近づけることは可能か？
• RQ4 ハミルトニアンベースのモデルは、根本的な問題に対する新しい単純な量子アルゴリズムを生み出すのに役立つだろうか？
• RQ5 線形方程式系の解法において、進化乱数化は標準的なアディアバティック進化と比べて、実装性や性能面でどのように異なるか？

主な発見

• 最初のアルゴリズムはO(κ² log(κ)/ε)の時間計算量を達成し、単純さを保ちつつ多項式スケーリングを維持する点で、一部の従来手法を改善する。
• 第二のアルゴリズムは計算量をO(κ log(κ)/ε)に低減し、条件数κの観点からほぼ最適なスケーリングを達成する。
• 提案されたアルゴリズムは、位相推定や変動時間のアモニファイケーションを必要とせず、アルゴリズム的および量子ビットのオーバーヘッドを削減する。
• ゲートモデルにおけるハミルトニアンシミュレーションを介して実装可能であり、実用的な量子回路設計を可能にする。
• アルゴリズムは概念的に単純で、最小限のアタッチ量子ビットを必要とするため、近い将来の量子デバイスにおける実現可能性が向上する。
• ハミルトニアンベースのモデルが、強い理論的保証を持つ新しい量子アルゴリズムの発見に強力なフレームワークを提供できることが示された。