[論文レビュー] Quantum Algorithms for Nearest-Neighbor Methods for Supervised and Unsupervised Learning

Nathan Wiebe, Ashish Kapoor+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、内積を用いた整合的量子距離計算とユークリッド距離推定、それに加えて振幅推定を組み合わせることで、クエリ複雑度を多項式的に削減する、最近傍分類とk-meansクラスタリングのための量子アルゴリズムを提示する。主な貢献は、古典的モンテカルロ法と比較して近似的に2乗の高速化を達成することであり、推定誤差に対してロバストで、高次元データへも適用可能である。

ABSTRACT

We present several quantum algorithms for performing nearest-neighbor learning. At the core of our algorithms are fast and coherent quantum methods for computing distance metrics such as the inner product and Euclidean distance. We prove upper bounds on the number of queries to the input data required to compute these metrics. In the worst case, our quantum algorithms lead to polynomial reductions in query complexity relative to the corresponding classical algorithm. In certain cases, we show exponential or even super-exponential reductions over the classical analog. We study the performance of our quantum nearest-neighbor algorithms on several real-world binary classification tasks and find that the classification accuracy is competitive with classical methods.

研究の動機と目的

• 古典的手法と比較して、最近傍分類およびk-meansクラスタリングのクエリ複雑度を低減する量子アルゴリズムの開発を目的とする。
• 量子オракルを用いて、高次元ベクトル間のユークリッド距離と内積を、量子的に整合的かつ高速に計算する手法の実現を目的とする。
• 測定に起因するデコherenceを回避するように、距離計算と振幅推定を統合し、量子サブルーチンを整合的に組み合わせられるようにする。
• 実世界のデータセットにおいて、距離推定の誤差に対して量子最近傍分類器がどれほどロバストであるかを実証することを目的とする。
• クエリ複雑度を低減する枠組みを、k-meansクラスタリングを含む教師なし学習に拡張することを目的とする。

提案手法

• アルゴリズムは、訓練データおよびテストデータのベクトルにアクセスするための量子オラクル O および F を用い、状態の整合的準備と振幅増幅を可能にする。
• 距離の計算には2つの方法を採用する：『内積法』（量子状態の内積を用いる）と『ユークリッド法』（二乗差の振幅推定を用いる）。
• 測定を行わずに振幅推定を適用することで、重ね合わせ状態の崩壊を回避し、最近傍探索にグローバー基づく探索と統合可能にする。
• 距離推定プロセスは、有界な誤差 ε と成功確率 δ₀ を許容するように設計されており、実用的応用におけるロバスト性を保証する。
• k-meansクラスタリングのため、同じ距離推定フレームワークを用いてクラスタ割り当てを計算し、その後、量子状態再構築により重心を再計算する。
• 1回のk-means反復におけるクエリ複雑度は O(M√k log k / ε) に比例し、kN ≫ M の場合に古典的 O(kMN) に対して顕著な改善を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アルゴリズムは、古典的モンテカルロ法と比較して、最近傍分類のクエリ複雑度を多項式的に削減できるか？
• RQ2 測定に起因するデコherenceを回避しつつ、整合的量子距離計算と振幅推定を組み合わせられるか？
• RQ3 実世界のデータセットにおいて、距離推定の誤差に対して量子最近傍分類器はどれほどロバストか？
• RQ4 同じ量子距離推定フレームワークを、k-meansクラスタリングのような教師なし学習タスクに拡張できるか？
• RQ5 量子k-meansクラスタリングのクエリ複雑度スケーリングは何か？また、古典的 O(kMN) 複雑度と比較してどうなるか？

主な発見

• 量子最近傍分類アルゴリズムは、クエリ複雑度の観点で、古典的モンテカルロ法と比較して近似的に2乗の高速化を達成し、クエリ数は O(M√k log k / ε) に比例する。
• 距離推定に有界な誤差 ε が存在しても、アルゴリズムは正確に保たれ、振幅推定におけるノイズに対してロバストであることが示された。
• k-meansクラスタリングにおいて、1回の反復のクエリ複雑度は O(M√k log k / ε) に有界であり、kN ≫ M の場合に古典的 O(kMN) より顕著に優れている。
• 本手法により、量子シミュレータによってリアルタイムに生成されたデータの分類が可能となり、古典的には特徴量データベースが膨大すぎて不可能なタスクを実現する。
• 実世界の二値分類タスクにおける数値的結果から、量子分類器が古典的手法と同等の分類精度を達成することが示された。
• 本フレームワークは、量子シミュレーションから動的かつインスタンス固有の特徴抽出を可能にするため、古典的には実現不可能な新しい種類の学習を可能にする、本質的に量子の機械学習を支援する。