[論文レビュー] Quantum Algorithms for Optimization and Polynomial Systems Solving over Finite Fields.

Yu-Ao Chen, Xiao-Shan Gao+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2018

Coding theory and cryptography被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、入力サイズおよび条件数に関して多項式時間の複雑さを示す、有限体上の多項式系および最適化問題を解くための量子アルゴリズムを提示する。条件数が小さい場合には指数的高速化を達成する。主な革新点は、スパarsityおよび変数数を保ちながら、有限体の問題を複素数上のブール解の探索に還元することにある。

ABSTRACT

In this paper, we give quantum algorithms for two fundamental computation problems: solving polynomial systems and optimization over finite fields. The quantum algorithms can solve these problems with any given probability and have complexities polynomial in the size of the input and the condition number of certain polynomial system related to the problem. So, we achieved exponential speedup for these problems when their condition numbers are small. As special cases of the optimization problem, quantum algorithms are given for the polynomial systems with noise, the short integer solution problem, cryptanalysis for the lattice based NTRU cryptosystems. The main technical contribution of the paper is how to reduce polynomial system solving and optimization over finite fields into the determination of Boolean solutions of a polynomial system over C, under the condition that the number of variables and the total sparseness of the new system is well controlled.

研究の動機と目的

• 有限体上の多項式系および最適化問題を解くための効率的な量子アルゴリズムの開発。
• これらの問題の条件数が小さい場合に指数的高速化を達成すること。
• 短い整数解問題やNTRU暗号の解析といった実用的課題への対処。
• スパarsityおよび変数数を制御しながら、有限体の計算を複素数上のブール解の探索に還元すること。
• ノイズのある多項式系およびラティス暗号の解析に対する量子解法の実現。

提案手法

• 有限体上の多項式系を、変数数およびスパarsityを制御した複素数上の同値系に還元する。
• 最適化および系の解法タスクを、複素数上での多項式系のブール解の特定に変換する。
• 入力サイズおよび条件数に関して多項式時間の複雑さを持つ、複素数上での多項式系の解法のための量子アルゴリズムを活用する。
• 新たな系の全スパarsityおよび変数数が元の問題サイズに関して多項式的に有界のまま保たれることを保証する。
• 高い確率での解を得るために、量子アモニチュード増幅およびアモニチュード推定技術を用いる。
• ノイズのある系やNTRUなどのラティス暗号システムといった特殊ケースに、還元手法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アルゴリズムは、入力サイズおよび条件数に関して多項式時間の複雑さを持つ、有限体上の多項式系を解くことができるか？
• RQ2 条件数が小さい場合に、有限体上での最適化および系の解法で達成可能な高速化は何か？
• RQ3 変数数やスパarsityの過剰な増加を避けながら、有限体の問題を複素数上のブール解の探索に還元する方法は何か？
• RQ4 提案手法は、短い整数解問題のような暗号解析的課題に適用可能か？
• RQ5 ノイズのある有限体上の多項式系は、量子手法を用いてどの程度効率的に解けるか？

主な発見

• 提案された量子アルゴリズムは、入力サイズおよび条件数に関して多項式時間の複雑さで、有限体上の多項式系および最適化問題を解くことができる。
• 関連する多項式系の条件数が小さい場合には指数的高速化が達成される。
• 複素数上でのブール解への還元は、スパarsityおよび変数数を多項式的な境界内で保つ。
• 本手法により、短い整数解問題が特殊ケースとして効率的に解ける。
• ラティス暗号のNTRU暗号の解析が、解ける多項式系に変換されることで、本手法は有効に機能する。
• ノイズのある多項式系に対しても適用可能であり、実世界の不完全なデータを伴うシナリオへの応用性が拡張される。