[論文レビュー] Quantum algorithms for shortest paths problems in structured instances

Aran Nayebi, Virginia Vassilevska Williams|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、量子最小値探索と量子ダイクストラ法を古典的手法と組み合わせることで、2.5未塔の指数時間実行時間に到達する、構造的すべての対 shortest paths (APSP) 問題に対する最初の非自明な量子アルゴリズムを提示する。幾何的重み付きグラフに対しては $\tilde{O}(n^{2.5 - (2.5 - \theta)/(4\theta + 2)})$ 時間のアルゴリズムを達成し、すべての対非減少パス問題に対しては $\tilde{O}(n^{2.487})$ 時間を達成する。これは、これらの問題に対してグローバーの $\tilde{O}(n^{2.5})$ 界を超え、初めての量子高速化を示している。

ABSTRACT

We consider the quantum time complexity of the all pairs shortest paths (APSP) problem and some of its variants. The trivial classical algorithm for APSP and most all pairs path problems runs in $O(n^3)$ time, while the trivial algorithm in the quantum setting runs in $ ilde{O}(n^{2.5})$ time, using Grover search. A major open problem in classical algorithms is to obtain a truly subcubic time algorithm for APSP, i.e. an algorithm running in $O(n^{3-\varepsilon})$ time for constant $\varepsilon>0$. To approach this problem, many truly subcubic time classical algorithms have been devised for APSP and its variants for structured inputs. Some examples of such problems are APSP in geometrically weighted graphs, graphs with small integer edge weights or a small number of weights incident to each vertex, and the all pairs earliest arrivals problem. In this paper we revisit these problems in the quantum setting and obtain the first nontrivial (i.e. $O(n^{2.5-\varepsilon})$ time) quantum algorithms for the problems.

研究の動機と目的

• APSPが $O(n^{2.5 - \theta})$ 時間で実行可能な非自明な量子アルゴリズムを有するかどうかという未解決問題に取り組む。
• 既知の古典的真にサブキュービックアルゴリズムを、構造的APSPの変種に量子設定に拡張し、より速い実行時間を持つようにする。
• 幾何的重み付きグラフ、ノード重み付きグラフ、および各頂点の異なる辺重みが有限個のグラフに対して量子アルゴリズムを開発する。
• すべての対非減少パス（APNP）問題に対する最初の量子高速化を提供する。これは非減少パス制約を持つAPSPの一種であり、スケジューリング応用をモデル化する。
• 最小三角形とAPSPの間の量子複雑性同等性を探索し、新たな量子高速化の境界を同定する。

提案手法

• 幾何的グラフのためのチャンの古典的真にサブキュービックアルゴリズムを、量子最小値探索と量子ダイクストラ法を用いて量子設定に適応する。
• 量子アルゴリズムによる $(\text{min}, \text{sum})$ 積の計算を用い、$O(n^{2.473})$ 時間で短い非減少パスを計算する。
• 長距離パスの計算を削減するために、ヒッティングセットの議論を適用し、$\tilde{O}(n/s)$ 個の代表的ノードを選択して量子ダイクストラ法の計算に使用する。
• ヒッティングセット内の各ノードに対して、振幅増幅を用いて $O(n^{1.5})$ のコストを達成する量子版ダイクストラステップに古典的ダイクストラステップを置き換える。
• 行列乗算技術と量子探索を組み合わせ、構造的インスタンスにおける距離積の計算を高速化する。
• 古典的設定における最小三角形とAPSPの同等性を活用し、三角形がより速く解けるならばAPSPに対しても量子的帰結を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的真にサブキュービックアルゴリズムが存在する構造的インスタンスにおいて、APSPの非自明な量子アルゴリズムを構築できるか？
• RQ2 定数 $\kappa$ を持つ幾何的重み付きグラフにおけるAPSPの量子時間計算量は何か？
• RQ3 スケジューリング応用をモデル化する、すべての対非減少パス（APNP）問題において量子高速化を達成できるか？
• RQ4 最小三角形とAPSPの間の古典的サブキュービック同等性の量子版は存在するか？
• RQ5 構造的グラフにおけるAPSPの量子アルゴリズムが $O(n^{2.5 - \varepsilon})$ 時間で達成できるか、$\varepsilon > 0$ であるか？

主な発見

• 幾何的重み付きグラフにおけるAPSPに対して、$\tilde{O}(n^{2.5 - (2.5 - \omega)/(4\kappa + 2)})$ 時間の量子アルゴリズムを開発した。ここで $\omega < 2.373$ であり、$\kappa$ は重み関数族に依存する定数である。
• すべての対非減少パス（APNP）問題に対して、$\tilde{O}(n^{2.487})$ 時間の量子アルゴリズムを達成し、古典的 $\tilde{O}(n^{2.843})$ 界を超えた改善を示した。
• 各頂点に高々 $L$ 個の異なる辺重みを持つグラフに対して、$\tilde{O}(\sqrt{n}^{2.5 - (2.5 - \omega)/6})$ 時間の量子アルゴリズムを得た。これは古典的 $\tilde{O}(\sqrt{L}n^{(9+\omega)/4})$ 実行時間よりも改善された。
• 本論文は、古典的サブキュービック同等性の量子版を確立した。最小三角形が $O(n^{1.5 - \varepsilon})$ 時間で解けるならば、APSPは $O(n^{2.5 - \delta})$ 時間で解けるような $\delta > 0$ が存在する。
• 結果は、量子アルゴリズムが構造的APSP変種においてグローバーの $\tilde{O}(n^{2.5})$ 界を超える非自明な高速化を達成できることを示している。
• 本アプローチは、ノード重み付きや小整数重み付きグラフを含む、既知の古典的真にサブキュービックアルゴリズムを持つすべてのAPSP変種に一般化可能である。