[論文レビュー] Quantum and Classical Low-Degree Learning via a Dimension-Free Remez Inequality

Klein, Ohad, Joseph Slote+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2023

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、多トーラス上での次元に依存しないリーメツ型不等式を導入し、ハイパーグリッド [K]^n およびクイジット系における低次の関数の O(log n) サンプル複雑性と多項式時間での学習を可能にする。巡回群上の離散関数とそれらの多トーラス上への調和拡張との関係を用いて、次元に依存しないボーデンブルスト＝ヒル型不等式を確立し、高次元の量子的および古典的設定における効率的学習の主な障壁を克服する。

ABSTRACT

Recent efforts in Analysis of Boolean Functions aim to extend core results to new spaces, including to the slice $\binom{[n]}{k}$, the hypergrid $[K]^n$, and noncommutative spaces (matrix algebras). We present here a new way to relate functions on the hypergrid (or products of cyclic groups) to their harmonic extensions over the polytorus. We show the supremum of a function $f$ over products of the cyclic group $\{\exp(2πi k/K)\}_{k=1}^K$ controls the supremum of $f$ over the entire polytorus $(\{z\in\mathbf{C}:|z|=1\}^n)$, with multiplicative constant $C$ depending on $K$ and $ ext{deg}(f)$ only. This Remez-type inequality appears to be the first such estimate that is dimension-free (i.e., $C$ does not depend on $n$). This dimension-free Remez-type inequality removes the main technical barrier to giving $\mathcal{O}(\log n)$ sample complexity, polytime algorithms for learning low-degree polynomials on the hypergrid and low-degree observables on level-$K$ qudit systems. In particular, our dimension-free Remez inequality implies new Bohnenblust--Hille-type estimates which are central to the learning algorithms and appear unobtainable via standard techniques. Thus we extend to new spaces a recent line of work \cite{EI22, CHP, VZ22} that gave similarly efficient methods for learning low-degree polynomials on the hypercube and observables on qubits. An additional product of these efforts is a new class of distributions over which arbitrary quantum observables are well-approximated by their low-degree truncations -- a phenomenon that greatly extends the reach of low-degree learning in quantum science \cite{CHP}.

研究の動機と目的

• ハイパーキューブおよびキュービット系からの効率的低次の学習を、任意の局所次元 K ≥ 2 を持つ一般のハイパーグリッド [K]^n およびクイジット系へ拡張する。
• 多トーラス上での次元に依存しないリーメツ型不等式を確立することで、従来の学習アルゴリズムにおける次元依存の障壁を克服する。
• [K]^n 上の関数および H^⊗n_K 上の観測量に対する、新しい次元に依存しないボーデンブルスト＝ヒル型不等式を導出する。
• 特定の分布の下で、低次の切り捨てが任意の量子観測量をよく近似することを示し、量子科学における低次の学習の適用範囲を拡張する。

提案手法

• 関数 f: [K]^n → ℂ を多トーラス (S^1)^n に調和拡張する。[K]^n 上での f の上界が、K および deg(f) のみに依存する定数の倍数で (S^1)^n 上での f の上界を制御することを示す。
• 次元に依存しないリーメツ型不等式を証明する：任意の [K]^n 上の次数 d の関数 f に対して、‖f‖_{L^∞((S^1)^n)} ≤ C(K,d) ‖f‖_{L^∞([K]^n)} が成り立ち、C は n に依存しない。
• この不等式を用いて、[K]^n 上のフーリエ係数およびクイジット系におけるゲルマン基底係数に関する次元に依存しないボーデンブルスト＝ヒル型不等式を導出する。
• L2設計不変（L2DI）分布の下での量子観測量のノイズ安定性を分析し、低次の切り捨てが全観測量を、切り捨て次数の指数関数的に減少する誤差で近似できることを示す。
• この不等式を応用して、積状態をサンプリングし、観測量 A の低次の近似を構築する学習アルゴリズムを設計する。このアルゴリズムは O(log n) のサンプル複雑性と多項式時間の実行時間を持つ。
• ゲルマン基底およびハイゼンベルク＝ヴァイエル基底の構造を活用して固有空間を関連付け、切り捨てられた観測量の作用素ノルムの上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパーグリッド [K]^n 上の関数およびその多トーラス上への調和拡張に対して、次元に依存しないリーメツ型不等式を確立できるか？
• RQ2 得られた不等式が、[K]^n およびクイジット系における低次の関数の学習に O(log n) のサンプル複雑性をもたらすか？
• RQ3 L2DI分布の下で、量子観測量の低次の切り捨てが、全観測量をどの程度よく近似するか？
• RQ4 クイジット系における導出されたボーデンブルスト＝ヒル型不等式の定数は、ハイパーキューブの場合と同様に、次数 d に対して指数的でない（すなわち、指数関数的でない）か？
• RQ5 ゲルマン基底およびハイゼンベルク＝ヴァイエル基底は、固有空間を関連付け、次元に依存しない境界を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• 次元に依存しないリーメツ型不等式が証明された：任意の f: [K]^n → ℂ に対して、次数 d であれば、多トーラス上での L^∞ ノルムは C(K,d) 倍の [K]^n 上での L^∞ ノルムで抑えられ、C は n に依存しない。
• この不等式は、[K]^n 上のフーリエ係数に関する新しい次元に依存しないボーデンブルスト＝ヒル型不等式を意味し、定数は K および d のみに依存する。
• クイジット系では、この不等式により、観測量 A のゲルマン基底係数の L^{2d/(d+1)}-ノルムが、その作用素ノルムで抑えられることを示す。
• L2DI分布の下で、全観測量 A とその次数 d までの切り捨て A≤d の間の L^2 誤差は、(K/(K^2−1))^d ‖A‖_2^2 で抑えられる。
• 低次のクイジット観測量を学習するための学習アルゴリズムが構築され、O(log n) のサンプル複雑性と多項式時間の実行時間を達成する。誤差 ε を達成するには、s = O(K^{3/2} log(n/δ) e^{c·log^2(1/ε) ‖A≤t‖_op^{2t}}) 個のサンプルが必要となる。
• 本手法により、低次の学習がクイジット系へ拡張され、全観測量が指数時間のプロセスに対応する場合でも、特定の分布の下で低次の切り捨てが全観測量をよく近似することが示された。