[論文レビュー] Quantum Annealing: a journey through Digitalization, Control, and hybrid Quantum Variational schemes

Glen Bigan Mbeng, Rosario Fazio+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 41

ひとこと要約

本論文は digitized quantum annealing (dQA) を QAOA および最適量子制御と結び付け、2-正則グラフ上の MaxCut に対する残留エネルギーの境界を証明し、QAOA 内で正則なアディアバティック風の digitized-QA スケジュールを構築できることを示している。

ABSTRACT

We establish and discuss a number of connections between a digitized version of Quantum Annealing (QA) with the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) introduced by Farhi et al. (arXiv:1411.4028) as an alternative hybrid quantum-classical variational scheme for quantum-state preparation and optimization. We introduce a technique that allows to prove, for instance, a rigorous bound concerning the performance of QAOA for MaxCut on a $2$-regular graph, equivalent to an unfrustrated antiferromagnetic Ising chain. The bound shows that the optimal variational error of a depth-$\mathrm{P}$ quantum circuit has to satisfy $ε^\mathrm{res}_{\mathrm{P}}\ge (2\mathrm{P}+2)^{-1}$. In a separate work (Mbeng et al., arXiv:1911.12259) we have explicitly shown, exploiting a Jordan-Wigner transformation, that among the $2^{\mathrm{P}}$ degenerate variational minima which can be found for this problem, all strictly satisfying the equality $ε^\mathrm{res}_{\mathrm{P}}=(2\mathrm{P}+2)^{-1}$, one can construct a special {\em regular} optimal solution, which is computationally optimal and does not require any prior knowledge about the spectral gap. We explicitly demonstrate here that such a schedule is adiabatic, in a digitized sense, and can therefore be interpreted as an optimized digitized-QA protocol. We also discuss and compare our bound on the residual energy to well-known results on the Kibble-Zurek mechanism behind a continuous-time QA. These findings help elucidating the intimate relation between digitized-QA, QAOA, and optimal Quantum Control.

研究の動機と目的

• デジタル化QA、QAOA、およびNISQ時代の最適量子制御との関係を確立する。
• 2-正則グラフ上の MaxCut に適用した QAOA の残留エネルギーに関する厳密な境界を導出する。
• QAOA 内で正則・アディアバティック風のデジタル化QAスケジュールの存在を示す。
• 境界条件と縮約スピン鎖が解析的境界を導出する方法を明確化する。

提案手法

• MaxCut をコストハミルトニアン H_z にエンコードした反鉄磁性イジング問題としてモデル化する。
• 連続時間 QA と gamma_m および beta_m のパラメータを用いたデジタイズド/トロター化された変種を説明する。
• QAOA を P 深さの H_z と H_x のデジタイズ交互作用として定義し、残留エネルギー epsilon^res_P を導出する。
• 翻訳不変性と境界条件の自由度を利用して、2P < N のとき epsilon^res_P >= 1/(2P+2) の下界を導く。
• ジョルダン-ワイナー変換を適用して問題を独立した二準系へ写像し、k-モードに対する epsilon^res_P の表 expressions を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デジタル化QAとQAOAは組合せ最適化の解法においてどのような関係を持つのか。
• RQ2 単純な正則グラフにおける QAOA の残留エネルギーの厳密な境界を導出できるか、またその境界が厳密になる条件は何か。
• RQ3 スペクトルギャップ情報なしにデジタル化QA フレームワーク内でアディアバティック風の正則 QAOA スケジュールを特定できるか。
• RQ4 境界条件と縮約スピン鎖は残留エネルギーと QAOA スケジュールの最適性にどのような影響を与えるか。

主な発見

• 2-正則グラフ上の MaxCut に対する残留エネルギーの変分境界：epsilon^res_P >= 1/(2P+2) for 2P < N, および epsilon^res_P = 0 for 2P >= N。
• 境界は反周期境界条件を用いたときに厳密であり、縮約鎖の議論は翻訳不変性を介して境界を正当化する。
• ジョルダン-ワイナー写像により問題が独立した二準系へ分解され、それぞれのモードからの残留エネルギー寄与の明示的表現を可能にする。
• 残留エネルギー境界を飽和させる正則・アディアバティック風の QAOA スケジュールがデジタル化QA 内に存在し、スペクトラムギャップ知識なしに構築できる。
• 最適な QAOA 風景は周期性と対称性を示し、特定の領域では最適パラメータが beta = gamma'（対称的な多様体）を満たすという証拠がある。