[論文レビュー] Quantum Assisted Eigensolver

Kishor Bharti|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2020

Advanced Fiber Laser Technologies参考文献 1被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、ハミルトニアンの基底状態および基底状態エネルギーを近似するためのハイブリッド量子古典アルゴリズムである量子補助固有値計算機（QAE）を提案する。変分量子固有値計算機とは異なり、QAEは古典量子フィードバックループを排除し、量子ハードウェアを重ね合わせ行列 D と E の計算にのみ使用する。これらの行列は、古典的な二次制約付き二次計画法（QCQP）で最適なアーサンツ係数を求めるために用いられる。この手法により、凸緩和を用いた有効に計算可能な下界と、グローバル最適性の十分条件が得られ、信頼性の高い収束が可能となる。

ABSTRACT

We propose a hybrid quantum-classical algorithm for approximating the ground state and ground state energy of a Hamiltonian. Once the Ansatz has been decided, the quantum part of the algorithm involves the calculation of two overlap matrices. The output from the quantum part of the algorithm is utilized as input for the classical computer. The classical part of the algorithm is a quadratically constrained quadratic program with a single quadratic equality constraint. Unlike the variational quantum eigensolver algorithm, our algorithm does not have any classical-quantum feedback loop. Using convex relaxation techniques, we provide an efficiently computable lower bound to the classical optimization program. Furthermore, using results from Bar-On et al. (Journal of Optimization Theory and Applications, 82(2):379--386, 1994), we provide a sufficient condition for a local minimum to be a global minimum. A solver can use such a condition as a stopping criterion.

研究の動機と目的

• NISQ時代におけるハミルトニアンの基底状態およびエネルギーを近似するハイブリッド量子古典アルゴリズムの開発を目的とする。
• VQE などの変分量子アルゴリズムに見られる古典量子フィードバックループを排除し、バーレンプレートの回避に起因する学習困難を解消することを目的とする。
• 1つの二次等式制約を持つ古典的最適化フレームワーク（QCQP）に基づくもので、理論的保証と効率的な下界の計算を可能とすることを目的とする。
• ラグランジュ緩和および半定値緩和を含む凸緩和技術を用いて、与えられたアーサンツに対する基底状態エネルギーの有効に計算可能な下界を計算することを目的とする。
• 局所最適解がグローバル最適であるための十分条件を確立し、ソルバーがこれを停止基準として使用できるようにすることを目的とする。

提案手法

• アルゴリズムは、m 個の効率的に準備可能な量子状態 |φⱼ⟩ の線形結合として表されるアーサンツの選択から始める。ここで係数 α は複素数である。
• 量子ハードウェアは、ハミルトニアン H = Σᵢ βᵢUᵢ に含まれる各ユニタリ行列 Uᵢ に対して、⟨φⱼ|Uᵢ|φₖ⟩ の行列要素を計算し、Dⱼₖ = Σᵢ βᵢ⟨φⱼ|Uᵢ|φₖ⟩ を持つ行列 D を形成する。
• 重ね合わせ行列 E は、内積 ⟨φⱼ|φₖ⟩ から計算され、アーサンツの正規化構造を表す。
• 古典的最適化ステップでは、QCQP を解く：αᵀDα を最小化し、制約条件 αᵀEα = 1 を満たす。ここで α ∈ ℂᵐ である。
• ラグランジュ緩和および半定値緩和を含む凸緩和技術を適用し、最適エネルギーの有効に計算可能な下界を計算する。
• Bar-On 他 (1994) の結果を用いて、局所最適解がグローバル最適であるための十分条件を導出する。これにより、ソルバーはこの条件を満たした段階で終了できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典量子フィードバックループを必要とせず、ハミルトニアンの基底状態エネルギーを近似するハイブリッド量子古典アルゴリズムは可能か？
• RQ2 量子ハードウェアから得られる重ね合わせ行列 D と E を用いることで、古典的 QCQP が高精度な基底状態近似を実現できるか？
• RQ3 凸緩和技術は、与えられたアーサンツに対する基底状態エネルギーの有効に計算可能な下界を提供できるか？
• RQ4 非凸な QCQP において、局所最適解がグローバル最適であることを確認する十分条件が存在するか？これにより、信頼性の高い収束が可能になるか？
• RQ5 ノイズ耐性およびバーレンプレート回避の観点から、VQE と比較して本アルゴリズムの性能はどのように異なるか？

主な発見

• a = 0.4 および b = 0.2 のトロイモデルにおいて、アルゴリズムは基底状態エネルギーを -0.824621 として計算し、真の基底状態エネルギーと小数点6桁まで一致した。
• 最適なアーサンツ係数は α = [-0.87033111, 0.1221769, 0.1221776]ᵀ として得られ、高精度な解への収束が確認された。
• 凸緩和を用いることで、任意の与えられたアーサンツに対して基底状態エネルギーの下界が得られ、計算が効率的かつ有効である。
• 局所最適解がグローバル最適であるための十分条件が導出され、ソルバーがこれを停止基準として使用できるようになり、信頼性が向上した。
• パラメータチューニングとフィードバックループを排除することで、VQE に内在するバーレンプレート問題を回避する。代わりに、行列要素のシングルショット量子計算に依存する。
• 本アルゴリズムの成功は、アーサンツの表現力に強く依存しており、劣悪なアーサンツは不良な近似をもたらす。これにより、アーサンツ設計の重要性が強調された。