[論文レビュー] Quantum Block and Synchronizable Codes Derived from Certain Classes of Polynomials

Tao Zhang, Gennian Ge|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限体上の多項式を用いた新しい量子ブロック符号および量子同期可能符号の構成を提示する。特に、$ℚ_2$ 上の二重的符号（duadic codes）を活用し、円分コセットの代数的構造および特定の多項式の既約因子を用いることで、最小距離やパラメータが向上した新しい量子符号を導出する。特に、最大のずれ耐性を持つ無限族の量子同期可能符号を構成し、既存の構成を上回るパラメータ範囲と効率性を達成する。

ABSTRACT

One central theme in quantum error-correction is to construct quantum codes that have a large minimum distance. In this paper, we first present a construction of classical codes based on certain class of polynomials. Through these classical codes, we are able to obtain some new quantum codes. It turns out that some of quantum codes exhibited here have better parameters than the ones available in the literature. Meanwhile, we give a new class of quantum synchronizable codes with highest possible tolerance against misalignment from duadic codes.

研究の動機と目的

• 多項式に基づく古典的符号を用いて、最小距離が向上した新しいクラスの量子ブロック符号を開発すること。
• 高いずれ耐性を持つ無限族の量子同期可能符号の不足を解消すること。
• $ℚ_2$ 上の二重的符号の代数的構造を活用することで、既存の量子同期可能符号の構成を一般化すること。
• 現在のオンラインデータベースに記載されたものよりも優れたパラメータを持つ量子符号の明示的構成を提供すること。

提案手法

• 有限体上での多項式の評価により古典的線形符号を構築し、特に$ℚ_2$ 上での$d_{n0}(x)$の既約因子に注目する。
• $p \equiv -1 \pmod{8}$ である奇素数$p$に対して、$p^n$ を法とする$2$-円分コセットを用いて、巡回符号の定義集合を分解する。
• 既約因子$h_{ij}(x)$の積として得られる生成多項式$f_1(x)$および$f_2(x)$を用いて、符号$D_1$および$D_2$を定義する。
• これらの符号の自己直交性および双対性の性質を活用し、CSS構成法により量子符号を構築する。
• 符号長を$a_l$および$a_r$のパディングにより拡張することで、必要な対称性と代数的構造を保ちながら、量子同期可能符号を構成する。
• 法$p^n$における$2$の位数、すなわち$t_n = \text{ord}_{p^n}(2)$を用いて、既約因子の次数および数を決定し、符号パラメータを精密に制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式に基づく構成は、既存のものよりも優れたパラメータを持つ量子符号を生み出せるか？
• RQ2 どのような代数的構造が、最大のずれ耐性を持つ量子同期可能符号の構成を可能にするか？
• RQ3 $ℚ_2$ 上の二重的符号を体系的に用いて、無限族の量子同期可能符号を生成できるか？
• RQ4 円分コセットおよび$d_{n0}(x)$の既約因子分解が、符号パラメータの決定に果たす役割は何か？

主な発見

• 著者らは、パラメータ$(a_l, a_r)$-$[[p^n + a_l + a_r, k]]_2$ を持つ新しい無限族の量子同期可能符号を構成し、$a_l + a_r < p^n$ を満たす。この符号は最大のずれ耐性を達成する。
• $p = 31$, $n = 2$ の場合、$f_1(x) = \prod_{i=1}^3 h_{1i}(x) \prod_{j=1}^3 h_{2j}(x)$ および $f_2(x) = \prod_{i=1}^3 h_{1i}(x)$ のとき、$(a_l, a_r)$-$[[961 + a_l + a_r, 621]]_2$ の形の量子同期可能符号が得られ、$k = 621$ となる。
• $u_i$および$v_i$の柔軟な選択により、符号長やパラメータの範囲を広げられるため、[26] に示された先行研究を一般化する。
• オンラインデータベース [6] および [12] に記載されたものよりも、最小距離およびレートの点で優れたパラメータを持つ量子符号を生成する。
• $d_{n0}(x)$ の$ℚ_2$ 上での既約因子の数は $\frac{p^{n-1}(p-1)}{2t_n}$ であり、$t_n = \text{ord}_{p^n}(2)$ である。このため、符号次元および長さを精密に制御できる。
• 理論的解析により、符号が自己直交的であり、CSS法による量子符号構成に必要な条件を満たすことが確認され、誤り訂正能力が保証される。