[論文レビュー] Quantum Brachistochrone for Mixed States

A. Carlini, Akio Hosoya+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2007

Quantum Mechanics and Applications被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、制約付きのハミルトニアンおよびリンドブラッド演算子を伴うリンドブラッドマスター方程式に従う混合状態の時間最適な量子遷移を決定するための変分原理を開発する。最適ハミルトニアンのための量子ブライオキストローネ方程式を導出し、環境の自由度が増えるにつれて最適時間は指数関数的に減少することを示す。混合状態を経由する遷移が、純粋状態間のユニタリ遷移よりも速くなる可能性がある。

ABSTRACT

We present a general formalism based on the variational principle for finding the time-optimal quantum evolution of mixed states governed by a master equation, when the Hamiltonian and the Lindblad operators are subject to certain constraints. The problem reduces to solving first a fundamental equation (the {\it quantum brachistochrone}) for the Hamiltonian, which can be written down once the constraints are specified, and then solving the constraints and the master equation for the Lindblad and the density operators. As an application of our formalism, we study a simple one-qubit model where the optimal Lindblad operators control decoherence and can be simulated by a tunable coupling with an ancillary qubit. It is found that the evolution through mixed states can be more efficient than the unitary evolution between given pure states. We also discuss the mixed state evolution as a finite time unitary evolution of the system plus an environment followed by a single measurement. For the simplest choice of the constraints, the optimal duration time for the evolution is an exponentially decreasing function of the environment's degrees of freedom.

研究の動機と目的

• 純粋状態に制限された時間最適量子制御を、マコビアンマスター方程式に従う開放量子系へと拡張すること。
• ハミルトニアンおよびリンドブラッド演算子に物理的制約を課した下での遷移時間の最小化のための一般化された変分原理を構築すること。
• 同じ制約下で、混合状態を経由する時間最適な遷移が、純粋状態間のユニタリ遷移よりも速くなることを示すこと。
• アシスタントキュービットに可調節結合を持つ2キュービット系を用いて、最適混合状態遷移の物理的実装を提供すること。
• 拡大されたヒルバート空間におけるユニタリ遷移後の単一の最終測定と、繰り返しの短時間測定との間で、時間最適性を比較すること。

提案手法

• 時間コスト関数とラグランジュ乗数を用いた変分作用を定式化し、マスター方程式および演算子の制約を強制する。
• 最適ハミルトニアンの基本方程式として、制約が指定されれば解ける量子ブライオキストローネ方程式を導出する。
• マスター方程式および制約方程式を解き、最適リンドブラッド演算子および密度行列の時間発展を決定する。
• アシスタントキュービットが環境を模倣する2キュービットモデルを構築し、部分トレースを伴う短時間ユニタリ遷移の繰り返しがリンドブラッドダイナミクスを再現することを示す。
• 系と環境の有限時間ユニタリ遷移として混合状態の遷移をモデル化し、その後に単一の測定を実行し、Kraus作用素にマッピングする。
• リンドブラッド作用素とKraus作用素の関係を用いて、完全正値性かつトレース保存写像としての遷移を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マコビアンダイナミクスおよび制約付きハミルトニアンとリンドブラッド演算子を伴う下で、時間最適量子制御を純粋状態から混合状態へ一般化できるか？
• RQ2 同じ制約下で、混合状態を経由する遷移が、純粋状態間のユニタリ遷移よりも速いか？
• RQ3 拡大された空間におけるユニタリ遷移後に最終測定を行う場合、環境の自由度の数が増えると最適遷移時間はどのようにスケーリングするか？
• RQ4 制御可能な2キュービット系にアシスタントキュービットを用いて、最適リンドブラッドダイナミクスを物理的に実装できるか？
• RQ5 繰り返しのマコビアン測定と単一の最終測定との間で、混合状態遷移の時間最適性に関して、どのような関係があるか？

主な発見

• 制約付きのハミルトニアン集合に制限されても、混合状態の時間最適な遷移は、純粋状態間のユニタリ遷移よりも速くなる可能性がある。
• 拡大されたヒルバート空間におけるユニタリ遷移後に単一の最終測定を行う場合、最適遷移時間は環境キュービット数の増加に伴い指数関数的に減少する。
• 1キュービットモデルでは、最適ハミルトニアンが量子ブライオキストローネ方程式から導出され、最適リンドブラッド演算子がデコherenceを制御することが判明した。
• 最適ダイナミクスは、アシスタントキュービットへの可調節結合を持つ2キュービット系でシミュレート可能であり、短時間ユニタリ操作の繰り返しと部分トレースによってマスター方程式が再現される。
• 環境キュービット数が少ない場合、繰り返し測定モデルにおける目標純粋状態へのフィデリティは、最終測定モデルよりも速く向上する。
• 形式的枠組みは特殊な場合に解析的解を許容し、より一般的な制約に対して数値的解が得られ、全方程式は標準的な常微分方程式および代数的解法により解ける。