[論文レビュー] Quantum Chains of Hopf Algebras with Order-Disorder Fields and Quantum Double Symmetry

Florian Nill, Kornél Szlachányi|ArXiv.org|Jul 31, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限次元 C*-ホップ代数 H 及びその双対 H* のクロス積を用いて、量子スピン鎖代数を構成し、順序および不順序の対称性を導入する。DHR セクターが Drinfeld 二重 D(H) によって分類されることを証明し、完全かつ既約で空間並進不変性を持つ場の代数拡大が D(H) ⊗ D(H) における 2-コホモロジー類に対応することを示し、量子二重理論に基づく対称性構造を確立する。

ABSTRACT

Given a finite dimensional C-*-Hopf algebra H and its dual H^ we construct the infinite crossed product A=... x H x H^ x H x ... and study its representations. A is the observable algebra of a generalized spin model with H-order and H^-disorder symmetries. By pointing out that A possesses a certain compressibility property we can classify all DHR-sectors of A --- relative to some Haag dual vacuum representation --- and prove that their symmetry is described by the Drinfeld double D(H). Complete, irreducible, translation covariant field algebra extensions F > A are shown to be in one-to-one correspondence with cohomology classes of 2-cocycles u in D(H) @ D(H).

研究の動機と目的

• 有限次元 C*-ホップ代数 H 及びその双対 H* のクロス積代数を用いて、H-順序および H^-不順序の両対称性を有する量子スピン鎖モデルを構築すること。
• ハーグ双対な真空表現に関する観測代数 A = ... × H × H^ × H × ... の DHR セクターを分類すること。
• これらのセクターの対称性が Drinfeld 二重 D(H) によって記述されることを確立すること。
• 完全かつ既約で空間並進不変性を持つ場の代数拡大 F > A を、D(H) ⊗ D(H) における 2-コサイクルのコホモロジー類の観点から特徴付けること。
• 観測代数の圧縮性を示し、超選択セクターの分類を可能にする。

提案手法

• 有限次元 C*-ホップ代数 H 及びその双対 H^ から無限クロス積代数 A = ... × H × H^ × H × ... を構成する。
• DHR 形式主義を用いて、ハーグ双対な真空表現に関する A の超選択セクターを分析する。
• A が有する圧縮性を活用し、すべての DHR セクターを分類し、それらが Drinfeld 二重 D(H) の既約表現と一対一対応することを示す。
• 完全かつ既約で空間並進不変性を持つ場の代数拡大 F > A と D(H) ⊗ D(H) における 2-コホモロジー類との間に一対一対応を確立する。
• 特に量子二重およびクロス積の構造に注目した、作用素代数およびホップ代数理論の技法を適用する。
• 構成における順序と不順序の対称性の双対性を、ホップ代数とその双対の関係を用いて利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元 C*-ホップ代数 H 及びその双対 H* から、同時に順序および不順序の対称性を有する量子スピン鎖をどのように構築できるか？
• RQ2 H と H^ のクロス積から構成された観測代数 A の DHR セクターの完全な分類は何か？
• RQ3 A の超選択セクターの対称性は、Drinfeld 二重 D(H) とどのように関係しているか？
• RQ4 完全かつ既約で空間並進不変性を持つ場の代数拡大 F > A の構造は何か？
• RQ5 D(H) ⊗ D(H) における 2-コサイクルのコホモロジーは、これらの場の拡大の分類において果たす役割は何か？

主な発見

• 観測代数 A の DHR セクターは、Drinfeld 二重 D(H) の既約表現によって完全に分類される。
• 超選択セクターの対称性は、Drinfeld 二重 D(H) によって実現され、H-順序および H^-不順序の対称性を統合する。
• 観測代数 A は、その DHR セクターの分類を可能にする圧縮性を有する。
• 完全かつ既約で空間並進不変性を持つ場の代数拡大 F > A と D(H) ⊗ D(H) における 2-コホモロジー類との間に一対一対応が存在する。
• 構成により、量子二重対称性が系のグローバル対称性として実現され、場の代数拡大は D(H) ⊗ D(H) のコサイクルによってパrameter化される。
• 本結果により、標準的なリー群や代数的群を越えた一般化された対称性を有する量子鎖の厳密な代数的枠組みが確立される。