[論文レビュー] Quantum channels that preserve entanglement

William Arveson|ArXiv.org|Jan 16, 2008

Quantum Information and Cryptography参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、量子チャネル—特に単位的完全正値（UCP）写像—を導入し、特徴づける。これらの写像は、チャネルの拡張（inflation）において、最大にエンタングルされた純粋状態のエンタングルメントが破壊されないことを保証することで、エンタングルメントを保存する。本稿は、UCP写像がエンタングルメント破壊的（退化的）かエンタングルメント保存的かの二分岐を確立する。また、ほとんどすべての低ランクUCP写像が、確率1でエンタングルメントを保存することが示される。

ABSTRACT

Let M and N be full matrix algebras. A unital completely positive (UCP) map ϕ:M o N is said to preserve entanglement if its inflation ϕ\otimes \id_N : M\otimes N o N\otimes N has the following property: for every maximally entangled pure state ρof N\otimes N, ρ\circ(ϕ\otimes \id_N) is an entangled state of M\otimes N. We show that there is a dichotomy in that every UCP map that is not entanglement breaking in the sense of Horodecki-Shor-Ruskai must preserve entanglement, and that entanglement preserving maps of every possible rank exist in abundance. We also show that with probability 1, {\em all} UCP maps of relatively small rank preserve entanglement, but that this is not so for UCP maps of maximum rank.

研究の動機と目的

• 量子チャネルにおけるエンタングルメントを保存するUCP写像を定義し、特徴づける。
• UCP写像がエンタングルメント破壊的かエンタングルメント保存的かの根本的二分岐を確立する。
• すべての可能なランクについて、エンタングルメント保存的UCP写像が豊富に存在することを示す。
• さまざまなランクのランダムなUCP写像について、エンタングルメント保存の確率を分析する。
• 極端なUCP写像を調べ、Stinespring表現を通じてエンタングルメント保存との関連を解明する。

提案手法

• Hilbert空間作用素と最小Stinespring対を用いて、UCP写像をStinespring拡大定理により表現する。
• テンソル積空間における周辺的循環純粋状態へのUCP写像の作用を通じて、エンタングルメント保存を定義する。
• ランク ≤ r であるUCP写像の空間 Φ^r に確率測度 P^r を導入し、これをこのような写像の確率的選択として扱う。
• 0-1法則を用いて、低ランク写像ではエンタングルメント保存がほとんど確実であり、最大ランク写像ではまれであることを示す。
• 表現の可換子の構造を用いて、UCP写像の極性条件を導出する。
• [Arv07]における状態とUCP写像のパrameter化に関する結果を応用し、確率的および構造的性質を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エンタングルメントを破壊するのではなく保存するUCP写像は、どのように特徴づけられるか？
• RQ2 エンタングルメント破壊的とエンタングルメント保存的UCP写像の間には、根本的な二分岐があるか？
• RQ3 与えられたランクのランダムに選ばれたUCP写像がエンタングルメントを保存する確率は何か？
• RQ4 極端なUCP写像はエンタングルメント保存とどのように関係するか？
• RQ5 作用素の組 (v_1, \dots, v_r) に対して、どのような条件下でUCP写像が極的になるか？

主な発見

• 明確な二分岐が成立する：すべてのUCP写像は、エンタングルメント破壊的（形式 $ \phi(x) = \sum_k \omega_k(x)e_k $）かエンタングルメント保存的のどちらかである。
• すべての可能なランクについて、エンタングルメント保存的UCP写像が豊富に存在する。
• 相対的に小さなランクのUCP写像は、確率1でエンタングルメントを保存する。
• これに対して、最大ランクのUCP写像は、確率1でエンタングルメントを保存しない。
• 極端なUCP写像は、演算子集合 \{v_i^*v_j\} の線形独立性によって特徴づけられ、これはChoiの定理に対応する。
• Φ^r 上の確率測度 P^r は、正確にランク r である写像に集中しており、ランダムUCP写像の確率的解析を可能にする。