[論文レビュー] Quantum Chaos and Quantum-Classical Correspondence

Joseph Emerson|ArXiv.org|Nov 7, 2002

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、2つの結合スピン系における量子古典対応を、Ehrenfest対応（狭い量子状態の場合）とLiouville対応（広い量子状態の場合）の2つの枠組みを用いて調査する。力学的カオス的領域では、量子古典差が時間とともに指数関数的に増大し、その増大率は古典的リヤプノフ指数を最低でも2倍上回るが、その大きさは ħ のオーダーで早期に飽和し、量子数に従い対数的 break-time スケーリングを示す。平衡状態における量子状態のフラクチュエーションは、量子数の負のべき乗に従い消えるため、巨視的極限においても安定した対応関係が成立する。

ABSTRACT

The quantum dynamics of a classically chaotic model are studied in the approach to the macroscopic limit. The quantum predictions are compared and contrasted with the classical predictions of both Newtonian and Liouville mechanics. The time-domain scaling of the optimal quantum-classical correspondence is analyzed in detail in the case of both classical theories. In both cases the correspondence for observable quantities is shown to break down on a time-scale that increases very slowly (logarithmically) with increasing system size. In the case of quantum-Liouville correspondence such a short time-scale does not imply a breakdown of correspondence since the largest quantum-Liouville differences reached on this time-scale decrease rapidly (as an inverse power) with increasing system size. Therefore the statistical properties of chaotic dynamics are, as expected, well described by quantum theory in the macroscopic limit. In contrast, the largest quantum-Newtonian differences reached on the log time-scale actually increase in proportion to the system size. Since the invariance properties of the Hamiltonian impose functional constraints on the time-varying chaotic coordinates, it is possible to show, moreover, that if the quantum predictions are believed to describe the coordinates of individual chaotic systems, then they also predict macroscopic violations of any kinematic or dynamic constants of the motion. These results for chaotic systems indicate that a valid description of the time-varying properties of individual macroscopic bodies is not available within the standard interpretive framework of quantum theory.

研究の動機と目的

• 有限次元スピン系におけるカオス的古典的力学を有する系において、量子古典対応の妥当性を分析すること。
• Ehrenfest対応とLiouville対応の領域を区別し、それぞれの break-time を特定すること。
• 力学的カオス的および混合位相空間領域における、確率分布の量子フラクチュエーションと古典的Liouville力学との比較を調査すること。
• 巨視的極限（大きな量子数）における量子古典差のスケーリングを調べること。
• カオス的力学のもとで巨視的系において、観測可能な対応の破綻が生じる条件を特定すること。

提案手法

• 人工的な切断を避けるために、離散的かつ有限次元のヒルベルト空間を持つ2つの結合スピン系をモデル化する。
• 量子時間発展を離散的ユニタリ写像で定義し、古典的時間発展をシンプレクティックかつ体積保存的な写像で定義する。
• 観測量の量子期待値と位相空間上の古典的Liouville平均を比較する。
• 数値シミュレーションを用いて、量子状態の幅、モーメント、確率分布の時間発展を追跡する。
• モーメントおよび確率分布における量子古典差を計算し、その増大率と飽和挙動を分析する。
• Wigner-Weyl表現を用いて、古典的Liouville力学に対する量子補正を検討し、非自明なMoyal項を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2スピン系のカオス的領域において、量子期待値と古典的Liouville平均はどのように比較されるか？
• RQ2 モーメントおよび確率分布における量子古典差の増大率は何か？また、古典的リヤプノフ指数とどのように関係するか？
• RQ3 Ehrenfest対応とLiouville対応の break-time は、量子数の増加に従いどのようにスケーリングするか？
• RQ4 長時間極限における平衡量子状態の性質は何か？そのフラクチュエーションは古典的定常状態と比べてどうなるか？
• RQ5 巨視的系において、量子古典対応が破綻する条件は何か？

主な発見

• 量子分散およびモーメントにおける量子古典差の初期増大率は指数関数的であり、その増大率は古典的リヤプノフ指数を最低でも2倍上回る。
• 量子古典差は ħ のオーダーで飽和し、指数的増大からべき乗的増大または飽和への早期のクロスオーバーを示す。
• Liouville対応の領域は、量子数に従い増大する対数的 break-time によって規定されるが、早期の飽和がその有効領域を制限する。
• 長時間極限において、量子状態はフラクチュエーションが量子数の負のべき乗に従い縮小する平衡状態に緩和し、古典的定常状態への収束を示唆する。
• グローバルにカオス的な位相空間では、平衡量子確率分布はほぼマイクロカノニカルに近いが、混合領域ではKAM構造を反映する。
• 巨視的カオス系では、短い対数的 break-time のためEhrenfest対応の観測可能な破綻が生じる可能性があるが、大きな量子数において相対的差が小さくなるため、Liouville対応は依然として頑健である。