[論文レビュー] Quantum Circuits: Fanout, Parity, and Counting

Cristopher Moore|ArXiv.org|Mar 13, 1999

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用数 31

ひとこと要約

本稿では、古典的AC₀およびACC₀を定数深さのファンアウトおよびパリティ演算を許容することで拡張した量子回路クラスQAC₀_wfおよびQACC₀[2]を導入する。定数深さにおけるファンアウトまたはパリティの利用が、任意のqについてMODqゲートを構築可能にすることを示し、QACC₀[2] = QACC₀が成り立つことを証明することで、この設定下で量子回路が古典的類似物よりも厳密に強力であることを示している。

ABSTRACT

We propose definitions of QAC^0, the quantum analog of the classical class AC^0 of constant-depth circuits with AND and OR gates of arbitrary fan-in, and QACC^0[q], where n-ary Mod-q gates are also allowed. We show that it is possible to make a `cat' state on n qubits in constant depth if and only if we can construct a parity or Mod-2 gate in constant depth; therefore, any circuit class that can fan out a qubit to n copies in constant depth also includes QACC^0[2]. In addition, we prove the somewhat surprising result that parity or fanout allows us to construct Mod-q gates in constant depth for any q, so QACC^0[2] = QACC^0. Since ACC^0[p] != ACC^0[q] whenever p and q are mutually prime, QACC^0[2] is strictly more powerful than its classical counterpart, as is QAC^0 when fanout is allowed.

研究の動機と目的

• 古典的回路クラスAC₀およびACC₀の量子版を定義すること、具体的にはQAC₀_wfおよびQACC₀[q]を定義し、浅い回路における量子計算パワーを研究すること。
• 定数深さの制約下で、ファンアウト、パリティ、およびMODqゲートの関係を調査すること。
• 特に定数深さ計算の文脈において、量子回路クラスが古典的類似物よりも厳密に強力であるかどうかを特定すること。
• ファンアウトとアシスタント管理の役割を明確にすることで、量子回路クラスにおける定義の曖昧さを解消すること。

提案手法

• QAC₀_wfを、1キュービットゲートおよびToffoliゲートの層から構成されるユニタリ回路を用いて定義し、キュービットの定数深さファンアウトを許容する量子回路クラスとして提案する。
• QAC₀_wfを、非有界ファンインのMODqゲートを含むように拡張し、QACC₀[q]を導入する。ここでMODqは、入力の合計がqで割り切れない場合に1を出力する。
• 非対角ゲートを対角形式に変換するための制御付き-Mゲート構成を、ユニタリTによる対角化を用いて実現し、並列化を可能にする。
• カタログ状態の準備にヒルベルトゲートおよび制御位相操作を用い、量子重ね合わせともつれを活用してファンアウトを実装する。
• アシスタントキュービットを初期化し、逆制御付き-M操作によりアンコンピュートすることで、正しさを保ちつつ再利用を可能にする。
• ファンアウトまたはパリティが定数深さで実現可能であるならば、対角化および並列制御操作を用いて任意のqについてMODqゲートを定数深さで構築可能であるという恒等式を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子回路においてファンアウトは定数深さで実装可能であり、これはパリティの計算能力を意味するか？
• RQ2 定数深さでパリティまたはファンアウトを計算可能であるならば、任意のqについて定数深さでMODqゲートを構築可能か？
• RQ3 QACC₀[q]はすべてのq（奇数qを含む）についてQACC₀に等しいか？ これは古典的ACC₀に対する量子優位性を示唆するか？
• RQ4 QAC₀はQAC₀_wfに等しいか、それともファンアウトは基本的なToffoliおよび1キュービットゲートよりも定数深さで厳密に強力か？
• RQ5 MODqゲートを構築する際に用いられた技術は、定数深さでスイッチングゲートを構築するために拡張可能か？

主な発見

• 1キュービットをn個のコピーにファンアウトする操作が定数深さで可能であることは、定数深さでのパリティ（MOD2）ゲートの構築と同値である。
• 定数深さのファンアウトまたはパリティゲートが存在するならば、任意のqについて定数深さでMODqゲートを構築可能である。
• QACC₀[2] = QACC₀であり、MOD2ゲートを追加することで、すべてのMODqゲートが定数深さで構築可能である。これは古典的文脈では成り立たない。
• QAC₀_wf = QACC₀[2] = QACC₀であり、定数深さのファンアウトまたはパリティが、量子MODq階層の崩壊を引き起こすことを示している。
• QAC₀_wfおよびQACC₀[2]は、それぞれ古典的AC₀およびACC₀[2]よりも厳密に強力であり、定数深さ計算における量子優位性のおかげである。
• 構築されたMODqゲートの深さはqに依存するがnには依存せず、固定されたqについて定数深さであることが確認され、深さはO(q² log³ q)で有界である。