[論文レビュー] Quantum circuits of CNOT gates

Marc Bataille|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般線型群 GL(n, F₂) の構造を活用することで、CNOT ゲートのみから構成される量子回路の最適化のための代数的手法を開発し、多項式時間のヒューリスティックな削減と特殊な場合の正確な最適化を可能にする。さらに、CNOT 回路が |W₄⟩ などのエンタングルド状態を効率的に生成できることを示し、NISQ 時代の量子計算における回路単純化とエンタングルメント資源生成の実用的ツールを提供する。

ABSTRACT

We study in detail the algebraic structures underlying quantum circuits generated by CNOT gates. Our results allow us to propose polynomial-time heuristics to reduce the number of gates used in a given CNOT circuit and we also give algorithms to optimize this type of circuits in some particular cases. Finally we show how to create some usefull entangled states when a CNOT circuit acts on a fully factorized state.

研究の動機と目的

• CNOT ゲートのみで構築された量子回路の代数的構造を理解すること。
• 任意の回路において CNOT ゲートの数を削減する効率的な最適化技術を開発すること。
• CNOT によって生成されるユニタリ行列の特定の部分群における最適化問題を特定し、解くこと。
• CNOT 回路が |W₄⟩ のような有用なエンタングルド量子状態を生成する役割を調査すること。
• CNOT のような誤りに敏感な2量子ビットゲートの最小化によって、フォールトトレランス量子計算を支援すること。

提案手法

• 本稿では、CNOT 回路を 𝔽₂ 上の一般線型群 GLₙ(𝔽₂) の要素としてモデル化し、回路操作と二進体上の行列変換との間の直接的な代数的同型を確立する。
• 回路の削減を 𝔽₂ 上の多項方程式系の解法として定式化し、B, L, M, Dₓᵧ, Pᴰ¹, Pᴰ², P_F, P_L, P_C² などの不変量を用いて、|W₄⟩ とは SLOCC 同値でないことを検出する。
• 一般の CNOT 回路削減のためのヒューリスティック手法を、𝔽₂ 上のガウス・ジョルダン消去法に基づいて提案し、多項式時間での単純化を可能にする。
• 特殊な場合においては、特定のエンタングルド状態が CNOT 操作の下での軌道構造を分析することで、正確なアルゴリズムを構築する。
• 符号計算（Maple スクリプト）を用いて、偏微分方程式系をゼロに設定したときの可解性をテストすることで、|W₄⟩ とは同値でないことを検証する。
• 実際の誤り率（IBM の ibmq_rome デバイスから得たもの）を用いて手法を検証し、現在のハードウェアにおいて CNOT ゲートが主な誤り源であることが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CNOT 回路の代数的構造は、𝔽₂ 上の線形代数を用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ2 任意の回路において CNOT ゲートの数を最小化する多項式時間のヒューリスティクスを開発できるか？
• RQ3 CNOT によって生成されるユニタリ行列の特定の部分群に対して正確な最適化アルゴリズムは存在するか？
• RQ4 CNOT 回路を体系的に用いて、|W₄⟩ のような既知のエンタングルド状態を生成できるか？
• RQ5 4量子ビットを超える系において、量子状態が一般にエンタングルされている条件は何か？

主な発見

• CNOT 回路は GLₙ(𝔽₂) の要素と同型であるため、回路単純化に線形代数的手法を適用可能である。
• ガウス・ジョルダン消去法に基づく多項式時間のヒューリスティックにより、一般の場合に効率的な CNOT 回路削減が可能である。
• 特定の部分群に対して正確な最適化アルゴリズムが開発され、構造化された状況での最小ゲート数が達成可能である。
• 与えられた状態が |W₄⟩ とは SLOCC 同値でないことを、そのハイパードテルミナントから導かれる方程式系に非自明な解がないことを示すことで証明した。
• 数時間の実行を要するが、符号計算を用いて状態が |W₄⟩ とは同値でないことを成功裏に検証した。
• CNOT 回路が、特に3および4量子ビット系において、エンタングルド状態生成の強力で実用的なツールであることが示された。