[論文レビュー] Quantum Circuits with Mixed States

Dorit Aharonov, Alexei Kitaev+1 more|ArXiv.org|Jun 8, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 68

ひとこと要約

この論文は、混合状態（密度行列）と一般の量子操作（ユニタリでないものも含む）を許容する一般化された量子回路モデルを導入し、標準のユニタリモデルの主な制限を克服する。主な貢献は、確率的サブルーチンを計算パワーを増加させることなく形式的にこのモデルで使用できることの証明であり、回路レベルのノイズに対してダイヤモンドノルムを用いて線形の誤差バウンダリーを確立することである。

ABSTRACT

We define the model of quantum circuits with density matrices, where non-unitary gates are allowed. Measurements in the middle of the computation, noise and decoherence are implemented in a natural way in this model, which is shown to be equivalent in computational power to standard quantum circuits. The main result in this paper is a solution for the subroutine problem: The general function that a quantum circuit outputs is a probabilistic function, but using pure state language, such a function can not be used as a black box in other computations. We give a natural definition of using general subroutines, and analyze their computational power. We suggest convenient metrics for quantum computing with mixed states. For density matrices we analyze the so called ``trace metric'', and using this metric, we define and discuss the ``diamond metric'' on superoperators. These metrics enable a formal discussion of errors in the computation. Using a ``causality'' lemma for density matrices, we also prove a simple lower bound for probabilistic functions.

研究の動機と目的

• 計算中に測定、ノイズ、デ coherent 化を扱う際の、標準のユニタリ量子回路モデルの形式的不備を解消する。
• 長年の「サブルーチン問題」を解決し、量子回路内で確率的関数をブラックボックスとして形式的に使用可能にする。
• 密度行列と完全正の写像を用いた統一的な枠組みを提供し、非ユニタリなプロセスを含む一般の量子操作をモデル化する。
• トレース距離とダイヤモンドノルムを用いて、ノイズのある量子計算における誤差を厳密に追跡する。
• 拡張されたモデルが標準のユニタリモデルと計算的に同等であることを示し、複雑性理論的結果を保持する。

提案手法

• 量子回路を、任意の混合状態（密度行列）と任意の量子操作（完全正のトレース非増加写像）を許容するように一般化する。
• 量子操作間の距離を測定するためのダイヤモンドノルムをメトリックとして用い、ノイズのある回路における誤差解析を可能にする。
• トレースノルムとの関係を示す双対スーパーオペレーターを定義し、誤差伝搬に関する重要な不等式を証明する。
• 理想バージョンからのトレース距離が有界である量子操作として、確率的サブルーチンを形式的に定義する。
• トレース距離 ≤ε であるサブルーチンが引き起こす誤差が、スーパーオペレーターノルムのバウンダリーにより、全体の回路誤差に最大 5ε まで寄与することを証明する。
• ダイヤモンドノルムの三角不等式および部分乗法性を用いて、L 個のゲート／サブルーチンがそれぞれ誤差 ≤ε を持つ回路の総誤差が O(Lε) で有界であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計算パワーを変えることなく、混合状態と非ユニタリ操作を含む量子回路を形式的に拡張することは可能か？
• RQ2 確率的サブルーチン（確率的出力を返す関数）は、どのように形式的に量子回路モデルに統合できるか？
• RQ3 ノイズとデ coherent 化を追跡するための正しい誤差メトリックは何か？誤差は操作の間でどのように蓄積されるか？
• RQ4 量子回路における確率的サブルーチンの使用は、理想のユニタリ操作の使用と同等の計算パワーを持つのか、それとも計算能力を向上させるのか？
• RQ5 ノイズのある条件下で、ダイヤモンドノルムを用いて量子回路のタイトで線形な誤差バウンダリーを導出できるか？

主な発見

• 混合状態を含む量子回路モデルは、標準のユニタリモデルと多項式的に同等の計算パワーを持つ。
• サブルーチン問題は解決された：確率的サブルーチンはブラックボックスとして形式的に使用可能であり、モデルの計算パワーを増加させない。
• ダイヤモンドノルム誤差 ≤ε の単一のゲートまたはサブルーチンが引き起こす誤差は、全体の回路誤差に最大 O(ε) まで寄与し、1サブルーチンあたり 5ε の線形バウンダリーを持つ。
• 各成分の誤差が ≤ε である L 成分からなる回路の総誤差は O(Lε) で有界であり、誤差が線形に蓄積されることを示している。
• ダイヤモンドノルムは、量子操作間の距離を測定する強固で物理的に意味のある指標を提供し、厳密な誤差追跡を可能にする。
• ノイズとデ coherent 化（純粋状態を混合状態に変換する非ユニタリプロセス）は、新しい枠組みにおいて自然にモデル化・分析可能である。