[論文レビュー] Quantum Coding Theorems for Arbitrary Sources, Channels and Entanglement Resources

Garry Bowen, Nilanjana Datta|ArXiv.org|Sep 30, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、情報スペクトルアプローチを用いて、任意の情報源、チャネル、そしてエンタングルメント資源に対して一般化された量子符号化定理を確立する。ノイズレス量子チャネルにおける密鎖定理の容量を、任意の共有エンタングルメントを用いて導出し、最適レートが log d から条件付きスペクトルエントロピーの下限を引いたものであることを示し、従来の結果をi.i.d.でない設定へと拡張する。

ABSTRACT

The information spectrum approach gives general formulae for optimal rates of various information theoretic protocols, under minimal assumptions on the nature of the sources, channels and entanglement resources involved. This paper culminates in the derivation of the dense coding capacity for a noiseless quantum channel, assisted by arbitrary shared entanglement, using this approach. We also review the currently known coding theorems, and their converses, for protocols such as data compression for arbitrary quantum sources and transmission of classical information through arbitrary quantum channels. In addition, we derive the optimal rate of data compression for a mixed source

研究の動機と目的

• i.i.d.仮定を超えた量子符号化定理を情報スペクトルアプローチを用いて一般化すること。
• 任意の共有エンタングルメントが利用可能なノイズレス量子チャネルにおける最適な密鎖定理容量を導出すること。
• 任意の量子チャネルを介した量子データ圧縮と古典的通信を統一的に扱うフレームワークを提供すること。
• スペクトル発散率を用いて、混合量子情報源の最適圧縮レートを明示的に計算すること。
• 既知のi.i.d.結果が一般スペクトル公式の特別な場合として回復されることを示すこと。

提案手法

• 任意の量子状態の系列に対するスペクトル発散率を定義するため、量子情報スペクトルアプローチを用いる。
• スペクトル射影およびトレース不等式（補題1および2）を適用して、符号化プロトコルにおける誤り確率の上限を求める。
• 発散率の定義を用いて、スペクトル条件付きエントロピー率 $\overline{S}(A|B)$ および $\underline{S}(A|B)$ を導入する。
• $d^n$次元のシステム上で密鎖定理をシミュレートするために、シフト・乗算演算子 $U_{(p,q)}$ を用いたユニタリ符号化方式を構築する。
• ユニタリ変換におけるトレース不変性を用いて、符号化された集合の平均忠実度とスペクトル発散率を関連付ける。
• 密鎖定理容量を、量子操作 $\Lambda_A$ に関して $\overline{S}(\Lambda A|B)$ を最小化することに還元し、最終的な容量公式を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共有エンタングルメントが任意であり、i.i.d.でない場合のノイズレス量子チャネルにおける最適な密鎖定理容量は何か？
• RQ2 i.i.d.または無記憶源を仮定しない混合情報源に対する量子データ圧縮レートはどのように導出できるか？
• RQ3 情報スペクトルアプローチは、古典的および量子容量定理の既知の結果を統一的かつ一般化できるか？
• RQ4 スペクトル発散率は、量子通信プロトコルの根本的限界をどのように特徴付けるか？
• RQ5 スペクトルエントロピー率は、i.i.d.の場合に標準的なフォン・ノイマンエントロピーにどのように還元されるか？

主な発見

• ノイズレス量子チャネルにおける密鎖定理容量は、任意の共有エンタングルメントを用いて、$ C_{DC} = \log d - \inf_{\Lambda} \overline{S}(\Lambda A|B) $ で与えられ、ここで $ \overline{S}(\Lambda A|B) $ はスペクトル条件付きエントロピー率である。
• 混合量子情報源の最適圧縮レートは $ R = \log d - \overline{S}(A|B) $ として導出され、これはシューマッハの定理をi.i.d.でない情報源へ一般化する。
• 情報スペクトルアプローチにより、情報源やチャネルの定常性、無記憶性、エルゴード性を仮定せずに容量定理を導出可能である。
• i.i.d.エンタングルメント資源の場合、一般公式は既知の結果 $ C_{DC} = \log d + S(B) - \min_{\Lambda} \frac{1}{N} S((\Lambda_A^{(N)} \otimes \text{id}_B^{(N)}) \varrho_{AB}^{\otimes N}) $ に還元される。
• スペクトル発散率 $ \overline{D}(\rho\|\omega) $ および $ \underline{D}(\rho\|\omega) $ は、量子プロトコルにおける誤り確率のタイトな操作的境界を提供する。
• シフト・乗算演算子を用いたユニタリ符号化により、$ d^n $次元部分空間上での一様分布が確保され、忠実度境界における漸近的誤りの消失が可能になる。